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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Similitudes directes planes · Leçon 1

Expressions complexes et expressions analytiques

L’écriture z' = az + b.

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Cours de Mathématiques : « Expressions complexes et expressions analytiques », proposé par ndolomathndolomath

Similitudes : écritures

💡 Idée principale : Une similitude directe est une transformation du plan dont l’écriture complexe est

z^{'} = a z + b

, avec

a \neq 0

. Si

a = 1

, c’est une translation ; sinon elle a un unique point fixe

Ω

, son centre, de rapport

| a |

et d’angle

\arg a

: c’est la composée d’une rotation et d’une homothétie de même centre.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une similitude directe à partir de son écriture complexe.
Déterminer le centre, le rapport et l’angle d’une similitude directe.
Déterminer l’écriture complexe d’une similitude connaissant ses éléments ou deux points et leurs images.
Passer de l’écriture complexe à l’écriture analytique.

Pourquoi cette leçon ?

Agrandir une image en la faisant tourner, comme sur un écran tactile avec deux doigts : c’est une similitude directe. Son écriture complexe permet de la programmer facilement.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris l’écriture complexe de la rotation de centre

O

et d’angle

\frac{π}{2}

Résous

z = 2 i z + 1

Écris

1 + i

sous forme exponentielle.

Situation problème : Le zoom sur l’écran tactile

Sur un écran tactile, Marthe pose deux doigts aux points $A (1)$ et $B (2 + i)$ , puis les déplace en $A^{'} (1 + i)$ et $B^{'} (1 + 3 i)$ . L’application transforme l’image par une similitude directe qui envoie $A$ sur $A^{'}$ et $B$ sur $B^{'}$ .
Quelle est cette similitude ? De combien l’image a-t-elle été agrandie et tournée ?

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Activité d’apprentissage

On cherche $a$ et $b$ tels que $z^{'} = a z + b$ .

Écris le système $a z_{A} + b = z_{A^{'}}$ , $a z_{B} + b = z_{B^{'}}$ .
Résous-le pour trouver $a$ et $b$ .
Détermine le rapport, l’angle et le centre de la similitude.
Réponds à la situation problème.

Écriture complexe

L’application

z \mapsto a z + b

(

a \in C^{*}

b \in C

) est une similitude directe. Si

a \neq 1

, son centre

Ω

a pour affixe

ω = \frac{b}{1 - a}

, et

z^{'} - ω = a (z - ω)

; son rapport est

| a |

et son angle

\arg a

Exemple à traiter : Détermine les éléments caractéristiques de

z^{'} = (1 + i) z + 2

et de

z^{'} = - \sqrt{3} z + i

R2 · Similitude par deux points

Il existe une unique similitude directe transformant

A

A^{'}

B

B^{'}

(

A \neq B

A^{'} \neq B^{'}

) ; on a

a = \frac{z_{B^{'}} - z_{A^{'}}}{z_{B} - z_{A}}

Exemple à traiter : Détermine la similitude directe qui transforme

A (i)

A^{'} (2)

B (1)

B^{'} (1 + 2 i)

Écriture analytique

En posant

z = x + i y

z^{'} = x^{'} + i y^{'}

a = α + i β

b = c + i d

x^{'} = α x - β y + c

y^{'} = β x + α y + d

Exemple à traiter : Donne l’écriture analytique de la similitude de centre

O

, de rapport 2 et d’angle

\frac{π}{3}

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Erreurs fréquentes

⚠ Rapport négatif

Le rapport d’une similitude est \(

⚠ Translation

a = 1

, il n’y a pas de centre : c’est une translation.

Exercice d’application

Montre que la composée de deux similitudes directes est une similitude directe et précise son rapport et son angle.
Détermine la similitude de centre $Ω (1 + i)$ qui transforme $O$ en $A (2 i)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

z^{'} = a z + b

a \neq 0

. Rapport

| a |

, angle

\arg a

, centre

ω = \frac{b}{1 - a}

(

a \neq 1

a = \frac{z_{B^{'}} - z_{A^{'}}}{z_{B} - z_{A}}