Cours

MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Probabilités · Leçon 4

Épreuves de Bernoulli et loi binomiale

Répétition d’épreuves indépendantes.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Épreuves de Bernoulli et loi binomiale », proposé par ndolomathndolomath

Loi binomiale

💡 Idée principale : Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité

p

) ou échec. En répétant

n

fois cette épreuve de manière indépendante, le nombre

X

de succès suit la loi binomiale

B (n, p)

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

, avec

E (X) = n p

V (X) = n p (1 - p)

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une épreuve et un schéma de Bernoulli.
Reconnaître une loi binomiale et calculer $P (X = k)$ , $P (X \leq k)$ , $P (X \geq k)$ .
Utiliser l’espérance et la variance d’une loi binomiale.

Pourquoi cette leçon ?

Contrôler la qualité d’un lot de pièces, prévoir le nombre de bonnes réponses à un QCM au hasard, le nombre de graines qui germeront : la loi binomiale modélise toutes ces répétitions.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

C_{5}^{2}

0, 3^{2} \times 0, 7^{3}

Calcule

1 - 0, 9^{10}

Dessine l’arbre de trois lancers d’une pièce.

Situation problème : Le QCM au hasard

Un QCM comporte 10 questions ayant chacune 4 réponses dont une seule est juste. Kevin, qui n’a pas révisé, répond au hasard à toutes les questions. Il faut 5 bonnes réponses pour avoir la moyenne.
Quelle est la probabilité qu’il ait la moyenne ? Combien de bonnes réponses peut-il espérer en moyenne ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Épreuves de Bernoulli et loi binomiale », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On note $X$ le nombre de bonnes réponses de Kevin.

Justifie que $X$ suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
Calcule $P (X = 5)$ .
Calcule $P (X \geq 5)$ et $E (X)$ .
Réponds à la situation problème.

Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre

p

a deux issues : succès (probabilité

p

) et échec (

1 - p

). Un schéma de Bernoulli est la répétition de

n

épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Exemple à traiter : Justifie que lancer 6 fois un dé en comptant les 6 obtenus est un schéma de Bernoulli ; précise

n

p

R2 · Loi binomiale

Le nombre

X

de succès suit

B (n, p)

: pour

k \in {0, \dots, n}

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

Exemple à traiter : Une machine produit 5 % de pièces défectueuses. On prélève 20 pièces (tirages assimilés à des tirages avec remise). Calcule la probabilité d’avoir exactement 1 pièce défectueuse, puis au plus 2.

Espérance et variance

X \sim B (n, p)

E (X) = n p

V (X) = n p (1 - p)

σ (X) = \sqrt{n p (1 - p)}

Exemple à traiter : Calcule l’espérance et l’écart-type du nombre de pièces défectueuses de R2. Interprète.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Épreuves de Bernoulli et loi binomiale », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Indépendance

La loi binomiale suppose des épreuves indépendantes (tirages avec remise).

⚠ Coefficient binomial

On n’oublie pas

C_{n}^{k}

, qui compte les positions des succès.

Exercice d’application

On lance 8 fois une pièce équilibrée. Calcule la probabilité d’obtenir au moins 6 piles.
Combien de fois faut-il lancer un dé pour que la probabilité d’obtenir au moins un 6 dépasse 0,99 ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

X \sim B (n, p)

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

E (X) = n p

V (X) = n p (1 - p)