Cours

MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Probabilités · Leçon 3

Variables aléatoires

Loi, espérance, variance, écart-type, fonction de répartition.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Variables aléatoires », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Une variable aléatoire

X

associe un nombre réel à chaque issue. Sa loi donne les probabilités

P (X = x_{i})

. Son espérance

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

est la valeur moyenne attendue ; sa variance

V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}

et son écart-type

σ (X) = \sqrt{V (X)}

mesurent la dispersion. La fonction de répartition est

F (x) = P (X \leq x)

Ce que tu vas apprendre

Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type.
Utiliser $E (a X + b) = a E (X) + b$ et $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .
Déterminer et représenter la fonction de répartition.

Pourquoi cette leçon ?

Un jeu est-il favorable au joueur ou à l’organisateur ? Une assurance fait-elle des bénéfices ? L’espérance d’une variable aléatoire permet de répondre.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

1 \times 0, 2 + 3 \times 0, 5 + 5 \times 0, 3

Calcule la moyenne et la variance de 2, 4, 6.

Calcule

C_{4}^{2}

C_{5}^{2}

Situation problème : Le jeu de la tombola

À la kermesse, on mise 500 F et on tire une boule dans une urne contenant 10 boules : 1 boule rouge fait gagner 3 000 F, 2 boules vertes font gagner 1 000 F, les autres ne font rien gagner. On note $X$ le gain algébrique (gain moins mise).
Le jeu est-il favorable au joueur ? Quel prix de mise rendrait le jeu équitable ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Variables aléatoires », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On étudie la variable aléatoire $X$ .

Donne les valeurs prises par $X$ et sa loi de probabilité.
Calcule $E (X)$ . Interprète.
Calcule la mise $m$ pour laquelle $E (X) = 0$ .
Réponds à la situation problème.

Loi et espérance

La loi de

X

est la donnée des valeurs

x_{i}

et des

p_{i} = P (X = x_{i})

, avec

\sum p_{i} = 1

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

. Un jeu est équitable si l’espérance du gain est nulle.

Exemple à traiter : On lance deux pièces.

X

est le nombre de piles. Donne la loi de

X

et calcule

E (X)

R2 · Variance et écart-type

V (X) = \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2} = E (X^{2}) - E (X)^{2}

σ (X) = \sqrt{V (X)}

. Pour

a

b

réels :

E (a X + b) = a E (X) + b

V (a X + b) = a^{2} V (X)

Exemple à traiter : Calcule la variance et l’écart-type de

X

dans la situation, puis de

Y = 2 X + 100

Fonction de répartition

F (x) = P (X \leq x)

est une fonction en escalier croissante, de 0 à 1, qui fait un saut de

p_{i}

en chaque

x_{i}

. On a

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)

Exemple à traiter : Détermine et représente la fonction de répartition de la variable de R1.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Variables aléatoires », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Somme des probabilités

On vérifie que la somme des

p_{i}

vaut 1.

⚠ Variance

V (a X + b) = a^{2} V (X)

: la constante

b

disparaît.

Exercice d’application

Une urne contient 4 boules numérotées 1, 2, 3, 4. On tire simultanément 2 boules ; $X$ est la somme des numéros. Donne la loi de $X$ , $E (X)$ et $V (X)$ .
Un assureur fait payer une prime de 20 000 F par an ; il rembourse 500 000 F avec une probabilité de 0,03. Calcule son bénéfice moyen par contrat.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Loi :

(x_{i}, p_{i})

\sum p_{i} = 1

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}

E (a X + b) = a E (X) + b

V (a X + b) = a^{2} V (X)