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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Probabilités · Leçon 2

Probabilité d’un événement : calculs

Propriétés et calculs avec le dénombrement.

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Cours de Mathématiques : « Probabilité d’un événement : calculs », proposé par ndolomathndolomath

Calculs de probabilités

💡 Idée principale : Pour tout événement

A

0 \leq P (A) \leq 1

P (\bar{A}) = 1 - P (A)

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

. Avec les outils de dénombrement, on calcule des probabilités dans des tirages successifs avec ou sans remise et des tirages simultanés.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser les propriétés : complémentaire, réunion, partition.
Calculer des probabilités dans des tirages successifs avec remise, sans remise, et simultanés.
Utiliser l’événement contraire pour les événements « au moins un ».

Pourquoi cette leçon ?

Quelle est la probabilité que, dans une classe de 40 élèves, deux aient le même anniversaire ? La réponse surprend : plus de 89 %. Le calcul passe par l’événement contraire.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

A_{10}^{3}

C_{10}^{3}

Calcule

1 - {(\frac{5}{6})}^{4}

Combien y a-t-il de tirages successifs avec remise de 3 boules parmi 8 ?

Situation problème : Le paradoxe des anniversaires

Dans une classe de $n$ élèves (on ignore les années bissextiles), Clarisse parie qu’au moins deux élèves ont le même jour d’anniversaire.
À partir de combien d’élèves a-t-elle plus d’une chance sur deux de gagner ?

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Activité d’apprentissage

On note $A_{n}$ l’événement « au moins deux élèves ont le même anniversaire ».

Décris $\bar{A_{n}}$ et calcule son cardinal à l’aide d’un arrangement.
Exprime $P (\bar{A_{n}})$ puis $P (A_{n})$ en fonction de $n$ .
Calcule $P (A_{20})$ , $P (A_{23})$ à la calculatrice.
Réponds à la situation problème.

Propriétés

P (\emptyset) = 0

P (Ω) = 1

;

P (\bar{A}) = 1 - P (A)

;

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

; si

A \subset B

P (A) \leq P (B)

. Si

(B_{1}, \dots, B_{n})

est une partition,

P (A) = \sum P (A \cap B_{i})

Exemple à traiter :

P (A) = 0, 5

P (B) = 0, 4

P (A \cup B) = 0, 7

. Calcule

P (A \cap B)

P (\bar{A} \cap \bar{B})

R2 · Tirages

Parmi

n

objets, on tire

p

objets : successivement avec remise,

n^{p}

issues ; successivement sans remise,

A_{n}^{p}

issues ; simultanément,

C_{n}^{p}

issues. Chaque modèle est équiprobable si les objets sont indiscernables au toucher.

Exemple à traiter : Une urne contient 6 boules blanches et 4 noires. On tire 3 boules. Calcule la probabilité d’obtenir exactement 2 blanches dans chacun des trois modes de tirage.

Au moins un

Pour « au moins un », on passe souvent par le contraire « aucun » :

P (au moins un) = 1 - P (aucun)

Exemple à traiter : On lance 5 fois un dé. Calcule la probabilité d’obtenir au moins un 6.

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Erreurs fréquentes

⚠ Additionner sans retirer

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

seulement si

A

B

sont incompatibles.

⚠ Mélanger les modèles

On compte les issues favorables avec le même modèle que les issues possibles.

Exercice d’application

On forme au hasard un comité de 4 personnes parmi 6 hommes et 5 femmes. Calcule la probabilité que le comité contienne au moins une femme, puis autant d’hommes que de femmes.
Un QCM de 10 questions a 4 réponses par question. Un élève répond au hasard. Calcule la probabilité de n’avoir aucune bonne réponse.
Réponds à la situation problème.

À retenir

P (\bar{A}) = 1 - P (A)

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

. Tirages :

n^{p}

A_{n}^{p}

C_{n}^{p}

. « Au moins un » : par le contraire.