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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Probabilités · Leçon 1

Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire, univers, événements, probabilité.

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Cours de Mathématiques : « Vocabulaire des probabilités », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Une expérience aléatoire a des issues dont l’ensemble est l’univers

Ω

. Un événement est une partie de

Ω

; on combine les événements par réunion, intersection, complémentaire. Une probabilité sur un univers fini associe à chaque issue un nombre positif, la somme valant 1.

Ce que tu vas apprendre

Décrire l’univers d’une expérience aléatoire et traduire des événements en parties de $Ω$ .
Utiliser les opérations sur les événements : $A \cup B$ , $A \cap B$ , $\bar{A}$ , événements incompatibles.
Définir une loi de probabilité sur un univers fini ; reconnaître une situation d’équiprobabilité.

Pourquoi cette leçon ?

Jeux de hasard, contrôle qualité, assurances, prévisions météo : pour raisonner rigoureusement sur l’incertain, il faut un vocabulaire précis.

Prérequis : vérifie tes bases

Combien de résultats possibles pour le lancer de deux dés ?

Écris tous les tirages de 2 boules parmi

{a, b, c}

Calcule

C_{5}^{2}

Situation problème : Le dé truqué

Un forain utilise un dé truqué : la probabilité d’obtenir une face est proportionnelle au numéro de cette face.
Quelle est la probabilité d’obtenir 6 ? d’obtenir un nombre pair ? Le jeu « on gagne avec un nombre pair » est-il équitable ?

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Activité d’apprentissage

On note $p_{k}$ la probabilité d’obtenir la face $k$ , avec $p_{k} = c k$ .

Écris l’univers $Ω$ et la condition $p_{1} + \dots + p_{6} = 1$ .
Déduis-en $c$ , puis $p_{6}$ .
Calcule la probabilité de l’événement « obtenir un nombre pair ».
Réponds à la situation problème.

Univers et événements

Ω

est l’ensemble des issues ; un événement est une partie de

Ω

A \cap B

: «

A

B

» ;

A \cup B

: «

A

B

» ;

\bar{A}

: contraire.

A

B

sont incompatibles si

A \cap B = \emptyset

. Une partition de

Ω

est une famille d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion est

Ω

Exemple à traiter : On tire simultanément 2 cartes d’un jeu de 32. Décris

Ω

et son cardinal, et l’événement « obtenir au moins un as ».

R2 · Loi de probabilité

Sur

Ω = {ω_{1}, \dots, ω_{n}}

, une loi de probabilité est donnée par des nombres

p_{i} \geq 0

avec

\sum p_{i} = 1

;

P (A)

est la somme des

p_{i}

des issues de

A

Exemple à traiter : Dans une urne, les boules sont numérotées 1, 2, 2, 3, 3, 3. On tire une boule. Donne la loi de probabilité du numéro tiré.

Équiprobabilité

Si toutes les issues ont la même probabilité

\frac{1}{card Ω}

, alors

P (A) = \frac{card A}{card Ω}

. Le dénombrement (p-listes, arrangements, combinaisons) permet de calculer ces cardinaux.

Exemple à traiter : On tire 3 boules simultanément d’une urne de 5 rouges et 4 noires. Calcule la probabilité d’obtenir exactement 2 rouges.

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Erreurs fréquentes

⚠ Équiprobabilité supposée

On ne peut utiliser

\frac{card A}{card Ω}

que si les issues sont équiprobables.

⚠ Incompatible et contraire

Deux événements incompatibles ne sont pas forcément contraires.

Exercice d’application

On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme soit 8, puis que les deux numéros soient différents.
Un code de 4 chiffres est choisi au hasard. Calcule la probabilité que ses chiffres soient tous distincts.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Ω

, événements,

\cap

\cup

, contraire. Loi :

p_{i} \geq 0

\sum p_{i} = 1

. Équiprobabilité :

P (A) = \frac{card A}{card Ω}