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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Primitives d’une fonction · Leçon 2

Détermination des primitives

Tableau de primitives et formes composées.

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Cours de Mathématiques : « Détermination des primitives », proposé par ndolomathndolomath

Calcul des primitives

💡 Idée principale : On détermine les primitives en lisant à l’envers le tableau des dérivées : primitives usuelles (

x^{n}

\frac{1}{x^{2}}

\frac{1}{\sqrt{x}}

\cos

\sin

), linéarité, et formes composées

u^{'} u^{n}

\frac{u^{'}}{u^{2}}

\frac{u^{'}}{\sqrt{u}}

u^{'} \cos u

f (a x + b)

Ce que tu vas apprendre

Utiliser le tableau des primitives usuelles et la linéarité.
Reconnaître les formes $u^{'} u^{n}$ , $\frac{u^{'}}{u^{n}}$ , $\frac{u^{'}}{\sqrt{u}}$ , $u^{'} (v^{'} \circ u)$ .
Déterminer des primitives de fonctions trigonométriques par linéarisation.

Pourquoi cette leçon ?

Pour calculer des aires, des volumes ou des travaux en physique, il faut savoir trouver rapidement des primitives.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

(x^{2} + 1)^{4}

Dérive

\sin (3 x + 1)

Linéarise

\cos^{2} x

Situation problème : Le défi des primitives

Un professeur propose : « Trouvez une primitive de $f (x) = x (x^{2} + 1)^{3}$ en moins d’une minute. » Un élève veut développer $(x^{2} + 1)^{3}$ , ce qui est long.
Existe-t-il un raccourci ?

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Activité d’apprentissage

On reconnaît une forme $u^{'} u^{n}$ .

Pose $u (x) = x^{2} + 1$ . Calcule $u^{'} (x)$ .
Écris $f (x)$ en fonction de $u^{'}$ et $u$ .
Dérive $\frac{u^{4}}{4}$ et déduis-en une primitive de $f$ .
Réponds à la situation problème.

Primitives usuelles

x^{n} \to \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

(

n \neq - 1

) ;

\frac{1}{x^{2}} \to - \frac{1}{x}

;

\frac{1}{\sqrt{x}} \to 2 \sqrt{x}

;

\cos x \to \sin x

;

\sin x \to - \cos x

;

1 + \tan^{2} x \to \tan x

. Une primitive de

a f + b g

est

a F + b G

Exemple à traiter : Détermine une primitive de

f (x) = 4 x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2 \cos x

R2 · Formes composées

u^{'} u^{n} \to \frac{u^{n + 1}}{n + 1}

;

\frac{u^{'}}{u^{2}} \to - \frac{1}{u}

;

\frac{u^{'}}{\sqrt{u}} \to 2 \sqrt{u}

;

u^{'} \cos u \to \sin u

;

u^{'} \sin u \to - \cos u

;

f (a x + b) \to \frac{1}{a} F (a x + b)

Exemple à traiter : Détermine une primitive de

\frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}}

\frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}

\cos (3 x - 1)

\sin x \cos^{2} x

Fonctions trigonométriques

Pour

\cos^{n} x

\sin^{n} x

ou des produits, on linéarise (formules d’Euler ou de duplication), puis on utilise

\cos (a x) \to \frac{1}{a} \sin (a x)

\sin (a x) \to - \frac{1}{a} \cos (a x)

Exemple à traiter : Détermine une primitive de

\sin^{2} x

et de

\cos^{3} x

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Erreurs fréquentes

⚠ Facteur manquant

Pour

x (x^{2} + 1)^{3}

u^{'} = 2 x

: il faut un facteur

\frac{1}{2}

⚠ Signe de sin

Une primitive de

\sin x

est

- \cos x

Exercice d’application

Détermine une primitive de $f (x) = \frac{\sin x}{\cos^{3} x}$ sur $] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ .
Détermine $a$ , $b$ tels que $\frac{x + 3}{(x + 1)^{3}} = \frac{a}{(x + 1)^{2}} + \frac{b}{(x + 1)^{3}}$ , puis une primitive.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Usuelles + linéarité. Formes :

u^{'} u^{n} \to \frac{u^{n + 1}}{n + 1}

\frac{u^{'}}{\sqrt{u}} \to 2 \sqrt{u}

u^{'} \cos u \to \sin u

. Trigonométrie : linéariser.