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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Primitives d’une fonction · Leçon 1

Primitives d’une fonction continue sur un intervalle

Existence et ensemble des primitives.

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Cours de Mathématiques : « Primitives d’une fonction continue sur un intervalle », proposé par ndolomathndolomath

Primitives : définition

💡 Idée principale : Une primitive de

f

sur un intervalle

I

est une fonction

F

dérivable sur

I

telle que

F^{'} = f

. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; deux primitives diffèrent d’une constante. Il existe une unique primitive prenant une valeur donnée

y_{0}

en un point

x_{0}

Ce que tu vas apprendre

Vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre.
Connaître l’existence des primitives d’une fonction continue et la forme de toutes les primitives.
Déterminer la primitive qui prend une valeur donnée en un point.

Pourquoi cette leçon ?

Connaître la vitesse d’un mobile à chaque instant et vouloir sa position ; connaître le débit d’un robinet et vouloir le volume d’eau : il faut « remonter » de la dérivée à la fonction.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

F (x) = x \sin x

Dérive

G (x) = \sqrt{x^{2} + 1}

Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est-elle constante ?

Situation problème : La position du train

Un train roule sur une voie rectiligne. Sa vitesse (en km/min) à l’instant $t$ (en minutes) est $v (t) = 2 - \frac{2}{(t + 1)^{2}}$ . À $t = 0$ , il est au kilomètre 10.
Où se trouve-t-il à l’instant $t = 4$ ?

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Activité d’apprentissage

On cherche la position $x (t)$ telle que $x^{'} (t) = v (t)$ et $x (0) = 10$ .

Vérifie que $F (t) = 2 t + \frac{2}{t + 1}$ vérifie $F^{'} (t) = v (t)$ .
Pourquoi $x (t) = F (t) + k$ avec $k$ constante ?
Détermine $k$ à l’aide de $x (0) = 10$ et calcule $x (4)$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

F

est une primitive de

f

sur l’intervalle

I

F

est dérivable sur

I

F^{'} = f

Exemple à traiter : Montre que

F (x) = (x - 1) e^{x}

est une primitive de

f (x) = x e^{x}

sur

R

R2 · Ensemble des primitives

Toute fonction continue sur un intervalle

I

admet des primitives sur

I

. Si

F

est l’une d’elles, les primitives de

f

sur

I

sont les fonctions

F + k

k \in R

Exemple à traiter : Détermine toutes les primitives de

f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1

sur

R

Primitive vérifiant une condition

Pour tout

x_{0} \in I

et tout réel

y_{0}

, il existe une unique primitive

F

f

telle que

F (x_{0}) = y_{0}

Exemple à traiter : Détermine la primitive de

f (x) = \frac{1}{(2 x + 1)^{2}}

sur

] - \frac{1}{2}; + \infty [

qui s’annule en 0.

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Erreurs fréquentes

⚠ Intervalle

Le résultat «

F + k

» n’est valable que sur un intervalle.

⚠ Vérifier

On vérifie toujours une primitive en la dérivant.

Exercice d’application

Détermine les réels $a$ , $b$ pour que $F (x) = (a x + b) e^{- x}$ soit une primitive de $f (x) = x e^{- x}$ .
Détermine la primitive de $\sin x \cos x$ qui vaut 1 en 0.
Réponds à la situation problème.

À retenir

F^{'} = f

. Primitives :

F + k

sur un intervalle. Unique primitive avec

F (x_{0}) = y_{0}