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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Nombres complexes : Approche géométrique · Leçon 6

Nombres complexes et trigonométrie

Formules trigonométriques et sommes par les complexes.

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Cours de Mathématiques : « Nombres complexes et trigonométrie », proposé par ndolomathndolomath

Complexes et trigonométrie

💡 Idée principale : Les formules de Moivre et d’Euler permettent de retrouver les formules d’addition et de multiplication des angles, de transformer

a \cos x + b \sin x

r \cos (x - φ)

, de résoudre des équations trigonométriques et de calculer des sommes comme

\sum \cos (k x)

à l’aide des suites géométriques complexes.

Ce que tu vas apprendre

Retrouver les formules d’addition et exprimer $\cos n x$ , $\sin n x$ en fonction de $\cos x$ , $\sin x$ .
Transformer $a \cos x + b \sin x$ en $r \cos (x - φ)$ et résoudre $a \cos x + b \sin x = c$ .
Calculer des sommes trigonométriques à l’aide des complexes.

Pourquoi cette leçon ?

En électronique, deux signaux de même fréquence se combinent en un seul signal sinusoïdal ; le calcul de son amplitude et de sa phase se fait avec la forme

r \cos (x - φ)

, obtenue grâce aux complexes.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris

1 + i \sqrt{3}

sous forme exponentielle.

Rappelle la formule de Moivre.

Calcule

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}

pour

q \neq 1

Situation problème : La superposition de deux signaux

Dans un appareil, deux signaux $s_{1} (t) = \cos (ω t)$ et $s_{2} (t) = \sqrt{3} \sin (ω t)$ se superposent.
Le signal obtenu $s (t) = s_{1} (t) + s_{2} (t)$ est-il sinusoïdal ? Quelle est son amplitude ? Quand s’annule-t-il ?

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Activité d’apprentissage

On écrit $\cos x + \sqrt{3} \sin x = Re ((1 - i \sqrt{3}) e^{i x})$ .

Vérifie cette égalité en développant.
Écris $1 - i \sqrt{3}$ sous forme exponentielle.
Déduis-en $s (t) = 2 \cos (ω t - \frac{π}{3})$ et résous $s (t) = 0$ .
Réponds à la situation problème.

Formules de Moivre

(\cos x + i \sin x)^{n} = \cos n x + i \sin n x

. En développant avec le binôme et en identifiant parties réelles et imaginaires, on exprime

\cos n x

\sin n x

en fonction de

\cos x

\sin x

Exemple à traiter : Exprime

\cos 2 x

\sin 2 x

puis

\cos 4 x

en fonction de

\cos x

\sin x

R2 · Transformation de a cos x + b sin x

Avec

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

φ

tel que

\cos φ = \frac{a}{r}

\sin φ = \frac{b}{r}

a \cos x + b \sin x = r \cos (x - φ)

. On l’obtient en écrivant

a + i b = r e^{i φ}

Exemple à traiter : Résous dans

R

l’équation

\cos x - \sin x = 1

Sommes trigonométriques

\sum_{k = 0}^{n} \cos k x = Re (\sum_{k = 0}^{n} e^{i k x})

, somme géométrique de raison

e^{i x}

; on factorise par l’angle moitié :

1 - e^{i θ} = - 2 i \sin \frac{θ}{2} e^{i \frac{θ}{2}}

Exemple à traiter : Calcule

S = \sum_{k = 0}^{n} \cos k x

pour

x \notin 2 π Z

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Erreurs fréquentes

⚠ Choix de φ

On détermine

φ

avec

\cos φ

\sin φ

, pas seulement

\tan φ

⚠ Raison égale à 1

La formule de la somme géométrique exige

e^{i x} \neq 1

Exercice d’application

Écris $\sqrt{3} \cos x + \sin x$ sous la forme $r \cos (x - φ)$ et résous $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}$ .
Calcule $\sum_{k = 1}^{n} \sin k x$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Moivre :

(e^{i x})^{n} = e^{i n x}

a \cos x + b \sin x = r \cos (x - φ)

avec

a + i b = r e^{i φ}

. Sommes : suites géométriques de raison

e^{i x}