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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Nombres complexes : Approche géométrique · Leçon 5

Nombres complexes et électricité

Impédance complexe et circuits en régime sinusoïdal.

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Cours de Mathématiques : « Nombres complexes et électricité », proposé par ndolomathndolomath

Complexes et électricité

💡 Idée principale : En régime sinusoïdal, on associe à une tension

u (t) = U \sqrt{2} \cos (ω t + φ)

le nombre complexe

\underset{―}{U} = U e^{i φ}

. Chaque dipôle a une impédance complexe :

Z_{R} = R

Z_{L} = i L ω

Z_{C} = \frac{1}{i C ω}

. Les impédances en série s’additionnent, et la loi d’Ohm s’écrit

\underset{―}{U} = Z \underset{―}{I}

: module et argument donnent l’amplitude et le déphasage.

Ce que tu vas apprendre

Associer un nombre complexe à une grandeur sinusoïdale.
Calculer l’impédance complexe d’un circuit série (R, L, C) et son module.
Déterminer l’intensité efficace et le déphasage à l’aide du module et de l’argument.

Pourquoi cette leçon ?

Les techniciens en électronique et en électrotechnique calculent les courants alternatifs avec des nombres complexes : le module donne l’amplitude et l’argument le déphasage. C’est l’une des grandes applications des complexes en filière TI.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le module et un argument de

3 + 4 i

Calcule

\frac{1}{i}

Écris

\sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}

sous forme algébrique.

Situation problème : Le circuit RL de l’atelier

Un circuit de l’atelier comporte en série une résistance $R = 30 Ω$ et une bobine d’inductance $L = 0, 1$ H, alimentés par une tension efficace de 220 V et de pulsation $ω = 400$ rad/s.
Quelle est l’intensité efficace du courant ? Quel est le déphasage entre la tension et le courant ?

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Activité d’apprentissage

On utilise l’impédance complexe $Z = R + i L ω$ .

Calcule $Z$ sous forme algébrique.
Calcule $| Z |$ et un argument $φ$ de $Z$ .
Déduis-en l’intensité efficace $I = \frac{U}{| Z |}$ et le déphasage.
Réponds à la situation problème.

Représentation complexe

x (t) = X \sqrt{2} \cos (ω t + φ)

, on associe

\underset{―}{X} = X e^{i φ}

: le module est la valeur efficace, l’argument la phase. La somme de grandeurs de même pulsation correspond à la somme des complexes associés.

Exemple à traiter : Détermine la somme des tensions

u_{1} = 3 \sqrt{2} \cos (ω t)

u_{2} = 4 \sqrt{2} \cos (ω t + \frac{π}{2})

à l’aide des complexes.

R2 · Impédances

Z_{R} = R

;

Z_{L} = i L ω

;

Z_{C} = \frac{1}{i C ω} = - \frac{i}{C ω}

. En série :

Z = Z_{1} + Z_{2} + \dots

; en parallèle :

\frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_{1}} + \frac{1}{Z_{2}} + \dots

Exemple à traiter : Calcule l’impédance d’un circuit RLC série avec

R = 50 Ω

L = 0, 2

C = 50 μ

ω = 300

rad/s.

Loi d’Ohm complexe

\underset{―}{U} = Z \underset{―}{I}

U = | Z | I

et le déphasage de la tension sur le courant est

\arg Z

. La résonance d’un circuit RLC série a lieu quand

L ω = \frac{1}{C ω}

, soit

Z = R

Exemple à traiter : Détermine la pulsation de résonance du circuit de R2 et l’intensité efficace à la résonance sous 220 V.

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Erreurs fréquentes

⚠ Valeur efficace et maximale

Le module du complexe associé est la valeur efficace, pas l’amplitude maximale.

⚠ Signe de Z_C

\frac{1}{i} = - i

: l’impédance d’un condensateur a une partie imaginaire négative.

Exercice d’application

Calcule l’impédance équivalente d’une résistance de 100 Ω en parallèle avec un condensateur d’impédance $- 100 i Ω$ .
Un circuit RC série ( $R = 40 Ω$ , $\frac{1}{C ω} = 30 Ω$ ) est alimenté sous 100 V. Calcule $I$ et le déphasage.
Réponds à la situation problème.

À retenir

\underset{―}{X} = X e^{i φ}

Z_{R} = R

Z_{L} = i L ω

Z_{C} = \frac{1}{i C ω}

. Série : somme.

U = | Z | I

, déphasage

\arg Z