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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Nombres complexes : Approche géométrique · Leçon 4

Complexes et géométrie

Angles, alignement, orthogonalité et transformations.

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Cours de Mathématiques : « Complexes et géométrie », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Avec les complexes,

\arg (\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}})

mesure l’angle

(\vec{A B}, \vec{A C})

| \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} | = \frac{A C}{A B}

. On en déduit des critères d’alignement, d’orthogonalité, de nature de triangles et les écritures complexes des translations, homothéties et rotations.

Ce que tu vas apprendre

Calculer une mesure d’angle orienté et un rapport de longueurs à l’aide des complexes.
Démontrer un alignement, une orthogonalité, la nature d’un triangle ou d’un quadrilatère.
Reconnaître l’écriture complexe d’une translation, d’une homothétie, d’une rotation.
Déterminer des lieux géométriques.

Pourquoi cette leçon ?

Des problèmes de géométrie difficiles avec des figures deviennent de simples calculs avec les complexes : c’est l’un de leurs plus grands atouts.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\frac{i}{1 + i}

sous forme exponentielle.

Que signifie

\arg (z) = \frac{π}{2}

pour le point

M

Rappelle la caractérisation d’un triangle équilatéral par les angles.

Situation problème : Le triangle mystérieux

On place les points $A (1)$ , $B (3 + 2 i)$ et $C (- 1 + 4 i)$ dans le plan complexe. Un élève affirme, en regardant la figure, que le triangle $A B C$ est rectangle et isocèle.
Comment le prouver par le calcul ?

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Activité d’apprentissage

On calcule le quotient $Z = \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ .

Calcule $Z$ sous forme algébrique.
Calcule $| Z |$ et un argument de $Z$ .
Interprète $| Z |$ et $\arg Z$ géométriquement.
Réponds à la situation problème.

Angles et longueurs

Pour

A \neq B

A \neq C

| \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} | = \frac{A C}{A B}

\arg (\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}) = (\vec{A B}, \vec{A C})

[

2 π

A

B

C

alignés

⟺ \frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}

réel ;

(A B) ⊥ (A C) ⟺

ce quotient est imaginaire pur.

Exemple à traiter : Montre que

A (2 + i)

B (4 + 2 i)

C (8 + 4 i)

sont alignés. Le triangle

A (0)

B (2)

C (1 + i \sqrt{3})

est-il équilatéral ?

R2 · Écritures complexes des transformations

Translation de vecteur d’affixe

b

z^{'} = z + b

. Homothétie de centre

Ω (ω)

et de rapport

k

z^{'} - ω = k (z - ω)

. Rotation de centre

Ω (ω)

et d’angle

θ

z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)

Exemple à traiter : Reconnais les transformations

z^{'} = i z + 1 - i

z^{'} = - 2 z + 3

, et donne leurs éléments caractéristiques.

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Lieux géométriques

Pour déterminer un ensemble de points

M (z)

tels qu’un complexe

Z (z)

soit réel, imaginaire pur, ou de module donné, on interprète

Z

comme un quotient

\frac{z - z_{A}}{z - z_{B}}

(droite, cercle) ou on écrit

z = x + i y

Exemple à traiter : Détermine l’ensemble des points

M

d’affixe

z

tels que

\frac{z - 2 i}{z + 1}

soit imaginaire pur.

Erreurs fréquentes

⚠ Ordre des points

\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}

donne l’angle

(\vec{A B}, \vec{A C})

, pas

(\vec{A C}, \vec{A B})

⚠ Point exclu

Un ensemble défini par un quotient exclut le point qui annule le dénominateur.

Exercice d’application

$A B C D$ est un carré direct avec $A (1 + i)$ et $B (3 + 2 i)$ . Détermine les affixes de $C$ et $D$ .
Soit $f$ la transformation $z^{'} = (1 + i) z - i$ . Montre que $f$ a un unique point fixe et caractérise $f$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}

: module

\frac{A C}{A B}

, argument

(\vec{A B}, \vec{A C})

. Réel ⇒ alignés ; imaginaire pur ⇒ orthogonaux. Rotation :

z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)