Cours

MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Nombres complexes : Approche géométrique · Leçon 3

Linéarisation et racines n-ièmes

Formules d’Euler et équation zⁿ = a.

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Cours de Mathématiques : « Linéarisation et racines n-ièmes », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Les formules d’Euler permettent de linéariser

\cos^{n} x

\sin^{n} x

, c’est-à-dire de les écrire comme sommes de

\cos k x

\sin k x

, ce qui facilite le calcul de primitives. L’équation

z^{n} = a

(

a \neq 0

) a exactement

n

solutions, les racines

n

-ièmes de

a

, dont les images forment un polygone régulier.

Ce que tu vas apprendre

Linéariser $\cos^{n} x$ , $\sin^{n} x$ et des produits simples.
Déterminer les racines $n$ -ièmes de l’unité et d’un complexe non nul.
Utiliser les racines $n$ -ièmes pour construire des polygones réguliers et résoudre des équations.

Pourquoi cette leçon ?

Pour intégrer

\cos^{3} x

en physique, on le linéarise. Pour construire un pentagone régulier, on utilise les racines cinquièmes de l’unité.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris

\cos x

avec les formules d’Euler.

Développe

(a + b)^{3}

Résous

z^{2} = 1

z^{2} = - 1

Situation problème : Le logo en étoile

Un designer veut placer les sommets d’un logo en forme d’hexagone régulier sur le cercle unité, un sommet étant au point d’affixe 1.
Quelles sont les affixes des sommets ? Quelle équation vérifient-elles ?

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Activité d’apprentissage

On cherche les complexes $z = e^{i θ}$ tels que $z^{6} = 1$ .

Écris $z = r e^{i θ}$ et traduis $z^{6} = 1$ par deux conditions sur $r$ et $θ$ .
Donne les valeurs de $θ$ dans $[0; 2 π [$ .
Écris les six solutions sous forme algébrique et place-les.
Réponds à la situation problème.

Linéarisation

On écrit

\cos x = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}

\sin x = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}

, on développe avec le binôme, puis on regroupe les termes conjugués :

e^{i k x} + e^{- i k x} = 2 \cos k x

e^{i k x} - e^{- i k x} = 2 i \sin k x

Exemple à traiter : Linéarise

\cos^{3} x

\sin^{2} x

\cos^{2} x \sin x

R2 · Racines n-ièmes de l’unité

Les solutions de

z^{n} = 1

sont

ω_{k} = e^{\frac{2 i k π}{n}}

k \in {0, \dots, n - 1}

. Leurs images sont les sommets d’un polygone régulier à

n

côtés inscrit dans le cercle unité, et pour

n \geq 2

\sum_{k = 0}^{n - 1} ω_{k} = 0

Exemple à traiter : Détermine les racines cubiques de l’unité et vérifie que

1 + j + j^{2} = 0

, avec

j = e^{\frac{2 i π}{3}}

Racines n-ièmes d’un complexe

a = ρ e^{i α}

(

ρ > 0

), les solutions de

z^{n} = a

sont

z_{k} = \sqrt[n]{ρ} e^{i (\frac{α}{n} + \frac{2 k π}{n})}

k \in {0, \dots, n - 1}

Exemple à traiter : Résous

z^{3} = 8 i

z^{4} = - 16

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Erreurs fréquentes

⚠ Nombre de racines

Il y a exactement

n

racines

n

-ièmes, pas deux.

⚠ Argument

On divise l’argument par

n

et on ajoute

\frac{2 k π}{n}

Exercice d’application

Résous $(z - 1)^{5} = (z + 1)^{5}$ (pose $Z = \frac{z - 1}{z + 1}$ ).
Linéarise $\sin^{4} x$ et déduis-en une primitive.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Linéariser : Euler + binôme + regroupement.

z^{n} = 1

e^{\frac{2 i k π}{n}}

z^{n} = ρ e^{i α}

\sqrt[n]{ρ} e^{i (\frac{α + 2 k π}{n})}