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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Nombres complexes : Approche géométrique · Leçon 2

Écriture trigonométrique et notation exponentielle

Module, argument et notation e^{iθ}.

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Cours de Mathématiques : « Écriture trigonométrique et notation exponentielle », proposé par ndolomathndolomath

Forme trigonométrique et exponentielle

💡 Idée principale : Tout complexe non nul s’écrit

z = r (\cos θ + i \sin θ) = r e^{i θ}

, où

r = | z |

θ = \arg (z)

est une mesure de l’angle

(\vec{u}, \vec{O M})

. Avec la notation exponentielle, les produits et quotients se calculent facilement :

e^{i θ} e^{i θ^{'}} = e^{i (θ + θ^{'})}

, et la formule de Moivre donne les puissances.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer un argument et la forme trigonométrique d’un complexe.
Utiliser la notation exponentielle et les propriétés des arguments.
Utiliser la formule de Moivre et les formules d’Euler.

Pourquoi cette leçon ?

Multiplier deux complexes sous forme algébrique est fastidieux ; sous forme exponentielle, il suffit de multiplier les modules et d’ajouter les arguments. C’est ce qui rend les complexes si efficaces pour les rotations et les signaux.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne

\cos \frac{π}{3}

\sin \frac{π}{3}

\cos \frac{3 π}{4}

\sin \frac{3 π}{4}

Calcule

| 1 + i \sqrt{3} |

Développe

(\cos a + i \sin a) (\cos b + i \sin b)

Situation problème : Le calcul de (1 + i)²⁰

Un élève doit calculer $(1 + i)^{20}$ . Développer est impensable.
Existe-t-il une méthode rapide ?

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Activité d’apprentissage

On écrit $1 + i$ sous forme trigonométrique.

Calcule $| 1 + i |$ et détermine un argument de $1 + i$ .
Écris $1 + i = \sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}$ et calcule $(1 + i)^{2}$ de deux façons.
Déduis-en $(1 + i)^{20}$ sous forme exponentielle puis algébrique.
Réponds à la situation problème.

Forme trigonométrique

z = a + i b \neq 0

r = | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

θ

vérifie

\cos θ = \frac{a}{r}

\sin θ = \frac{b}{r}

; alors

z = r (\cos θ + i \sin θ)

. L’argument est défini modulo

2 π

Exemple à traiter : Écris sous forme trigonométrique

- 1 + i \sqrt{3}

- 2 i

\sqrt{3} - i

R2 · Notation exponentielle et propriétés

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

r e^{i θ} \times r^{'} e^{i θ^{'}} = r r^{'} e^{i (θ + θ^{'})}

;

\frac{r e^{i θ}}{r^{'} e^{i θ^{'}}} = \frac{r}{r^{'}} e^{i (θ - θ^{'})}

;

\overset{―}{r e^{i θ}} = r e^{- i θ}

. Ainsi

\arg (z z^{'}) = \arg z + \arg z^{'}

\arg (\frac{z}{z^{'}}) = \arg z - \arg z^{'}

[

2 π

Exemple à traiter : Écris sous forme exponentielle

Z = \frac{(1 + i)^{3}}{(\sqrt{3} + i)^{2}}

Moivre et Euler

Formule de Moivre :

(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ

. Formules d’Euler :

\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}

;

\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}

Exemple à traiter : Exprime

\cos 3 θ

\sin 3 θ

en fonction de

\cos θ

\sin θ

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Erreurs fréquentes

⚠ Argument de a + ib

On utilise

\cos θ

\sin θ

, pas seulement

\tan θ

, pour placer l’angle dans le bon quadrant.

⚠ Forme trigonométrique

- 2 (\cos θ + i \sin θ)

n’est pas une forme trigonométrique : le module doit être positif.

Exercice d’application

Détermine les entiers $n$ tels que $(1 + i \sqrt{3})^{n}$ soit réel.
Écris $1 + e^{i θ}$ sous forme exponentielle en factorisant par $e^{i \frac{θ}{2}}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

z = r e^{i θ}

r = | z |

θ = \arg z

. Produit : modules multipliés, arguments ajoutés. Moivre :

(e^{i θ})^{n} = e^{i n θ}

. Euler :

\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}