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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Nombres complexes : Approche géométrique · Leçon 1

Représentation d’un complexe : image et affixe

Le plan complexe.

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Cours de Mathématiques : « Représentation d’un complexe : image et affixe », proposé par ndolomathndolomath

Image et affixe

💡 Idée principale : Dans un repère orthonormé direct

(O; \vec{u}, \vec{v})

, au complexe

z = a + i b

on associe le point

M (a; b)

, son image, et le vecteur

\vec{O M}

;

z

est l’affixe de

M

. L’affixe de

\vec{A B}

est

z_{B} - z_{A}

A B = | z_{B} - z_{A} |

. On traduit ainsi la géométrie en calculs complexes.

Ce que tu vas apprendre

Placer l’image d’un complexe et lire l’affixe d’un point ou d’un vecteur.
Calculer l’affixe d’un vecteur, d’un milieu, d’un barycentre.
Interpréter le module comme une distance ; déterminer des ensembles de points.

Pourquoi cette leçon ?

Les complexes permettent de décrire les points du plan avec un seul nombre. Les translations, rotations et distances deviennent alors de simples calculs.

Prérequis : vérifie tes bases

Place les points

A (2; 1)

B (- 1; 3)

dans un repère.

Calcule

| 3 - 4 i |

Donne les coordonnées du milieu de

[A B]

Situation problème : Le jeu de l’oasis

Dans un jeu, le joueur est au point d’affixe $z_{J} = 1 + 2 i$ , une oasis au point d’affixe $z_{O} = 4 - 2 i$ . Le joueur ne voit l’oasis que si elle est à moins de 5 unités.
Voit-il l’oasis ? Quel est l’ensemble des positions d’où l’on voit l’oasis exactement à la limite ?

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Activité d’apprentissage

On traduit la distance par un module.

Place les points $J$ et $O$ dans le plan complexe.
Calcule l’affixe de $\vec{J O}$ et la distance $J O$ .
Décris l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $| z - z_{O} | = 5$ .
Réponds à la situation problème.

Image et affixe

z = a + i b

correspondent le point

M (a; b)

et le vecteur

\vec{w} (a; b)

. L’affixe de

\vec{A B}

est

z_{B} - z_{A}

; celle du milieu de

[A B]

est

\frac{z_{A} + z_{B}}{2}

; celle du barycentre de

(A, α)

(B, β)

est

\frac{α z_{A} + β z_{B}}{α + β}

Exemple à traiter : Soit

A (1 + i)

B (3 - i)

C (2 + 4 i)

. Calcule les affixes de

\vec{A B}

, du milieu de

[B C]

et du point

D

tel que

A B C D

soit un parallélogramme.

R2 · Module et distance

| z_{B} - z_{A} | = A B

. Le point

\bar{M}

d’affixe

\bar{z}

est le symétrique de

M

par rapport à l’axe des réels ; le point d’affixe

- z

est le symétrique par rapport à

O

Exemple à traiter : Montre que le triangle

A B C

de R1 est isocèle.

Ensembles de points

| z - z_{A} | = r

: cercle de centre

A

et de rayon

r

| z - z_{A} | = | z - z_{B} |

: médiatrice de

[A B]

Re (z) = k

Im (z) = k

: droites parallèles aux axes.

Exemple à traiter : Détermine l’ensemble des points

M

d’affixe

z

tels que

| z - 2 + i | = 3

, puis tels que

| z + 1 | = | z - 3 i |

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Erreurs fréquentes

⚠ Affixe d’un vecteur

L’affixe de

\vec{A B}

est

z_{B} - z_{A}

, dans cet ordre.

⚠ Module

Exercice d’application

Détermine l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $Z = \frac{z - 1}{z + i}$ soit réel.
Détermine l’ensemble des points $M$ tels que $| \bar{z} + 2 i | = 2$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Affixe de

\vec{A B}

z_{B} - z_{A}

;

A B = | z_{B} - z_{A} |

| z - z_{A} | = r

: cercle ;

| z - z_{A} | = | z - z_{B} |

: médiatrice.