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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Fonctions logarithmes · Leçon 2

Autres fonctions logarithmes

Log décimal et logarithmes de base a.

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Cours de Mathématiques : « Autres fonctions logarithmes », proposé par ndolomathndolomath

Logarithme de base a

💡 Idée principale : Pour

a > 0

a \neq 1

, le logarithme de base

a

est

\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}

. Il a les mêmes propriétés algébriques que

\ln

, vérifie

\log_{a} a = 1

, et est croissant si

a > 1

, décroissant si

0 < a < 1

. Le logarithme décimal (

a = 10

) est utilisé en chimie, en acoustique et en sismologie.

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition de $\log_{a}$ et du logarithme décimal.
Utiliser les propriétés algébriques de $\log_{a}$ .
Étudier la fonction $\log_{a}$ suivant les valeurs de $a$ ; résoudre des équations et inéquations.

Pourquoi cette leçon ?

Le pH d’une solution est

- \log [H_{3} O^{+}]

; le niveau sonore est

10 \log \frac{I}{I_{0}}

décibels. Le logarithme décimal mesure « le nombre de chiffres » d’un nombre.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\frac{\ln 100}{\ln 10}

Résous

10^{x} = 1 000

Simplifie

\ln 8 - 3 \ln 2

Situation problème : Le niveau sonore du concert

Le niveau sonore (en décibels) d’un son d’intensité $I$ est $L = 10 \log \frac{I}{I_{0}}$ . Lors d’un concert, une enceinte produit 90 dB. On en ajoute une seconde identique.
Le niveau sonore devient-il 180 dB ? Quel est-il ?

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Activité d’apprentissage

Deux enceintes identiques doublent l’intensité.

Exprime $I$ en fonction de $I_{0}$ pour $L = 90$ .
Calcule le nouveau niveau $L^{'}$ pour l’intensité $2 I$ .
Calcule $L^{'} - L$ en fonction de $\log 2$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

Pour

a > 0

a \neq 1

\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}

(

x > 0

\log_{a} 1 = 0

\log_{a} a = 1

\log_{a} (a^{n}) = n

. Le logarithme décimal est

\log = \log_{10}

\log 10^{n} = n

Exemple à traiter : Calcule

\log_{2} 32

\log_{3} \frac{1}{81}

\log 0,001

R2 · Propriétés

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

;

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

;

\log_{a} x^{n} = n \log_{a} x

(\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a}

Exemple à traiter : Résous

\log_{2} (x + 1) + \log_{2} (x - 1) = 3

Étude de log_a

a > 1

\log_{a}

est strictement croissante, de

- \infty

+ \infty

; si

0 < a < 1

, elle est strictement décroissante, de

+ \infty

- \infty

. Le nombre de chiffres d’un entier

N \geq 1

en base 10 est

E (\log N) + 1

Exemple à traiter : Combien de chiffres a le nombre

2^{2026}

? (on donne

\log 2 \approx 0,301 03

). Résous

\log_{\frac{1}{2}} x \geq 3

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Erreurs fréquentes

⚠ Base inférieure à 1

0 < a < 1

, le sens des inégalités change.

⚠ Confusion

\log

désigne le logarithme décimal,

\ln

le logarithme népérien.

Exercice d’application

Le pH d’une solution est $pH = - \log [H_{3} O^{+}]$ . Calcule le pH si $[H_{3} O^{+}] = 2 \times 10^{- 4}$ mol/L, et la concentration si $pH = 7, 4$ .
Étudie et représente la fonction $\log_{2}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}

, mêmes propriétés que

\ln

. Croissante si

a > 1

, décroissante si

0 < a < 1

. Nombre de chiffres :

E (\log N) + 1