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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Fonctions logarithmes · Leçon 1

Le logarithme népérien

Définition, propriétés, étude complète.

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Cours de Mathématiques : « Le logarithme népérien », proposé par ndolomathndolomath

Logarithme népérien

💡 Idée principale : La fonction

\ln

est l’unique primitive de

x \mapsto \frac{1}{x}

sur

] 0; + \infty [

qui s’annule en 1. Elle est strictement croissante, transforme les produits en sommes, tend vers

- \infty

0^{+}

et vers

+ \infty

+ \infty

, et sa croissance est plus lente que toute puissance de

x

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition et les propriétés algébriques de $\ln$ .
Résoudre des équations et inéquations avec $\ln$ .
Connaître les limites et croissances comparées ; dériver $\ln u$ ; déterminer des primitives de $\frac{u^{'}}{u}$ .
Étudier des fonctions comportant $\ln$ .

Pourquoi cette leçon ?

Le pH d’une solution, la magnitude d’un séisme, l’intensité sonore en décibels, la datation au carbone 14 : toutes ces mesures utilisent le logarithme.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne une primitive de

x^{n}

pour

n \neq - 1

. Que se passe-t-il pour

n = - 1

Résous

e^{x} = 3

Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}}

Situation problème : Le séisme

La magnitude d’un séisme sur l’échelle de Richter est $M = \log (\frac{A}{A_{0}})$ , où $\log = \frac{\ln}{\ln 10}$ et $A$ est l’amplitude mesurée. Un séisme a une amplitude 100 fois plus grande qu’un autre.
De combien sa magnitude est-elle plus grande ? Pourquoi utilise-t-on un logarithme ?

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Activité d’apprentissage

On note $M_{1}$ et $M_{2}$ les magnitudes, $A_{2} = 100 A_{1}$ .

Écris $M_{2} - M_{1}$ à l’aide des propriétés de $\ln$ .
Calcule $M_{2} - M_{1}$ .
Que devient la magnitude si l’amplitude est multipliée par 1 000 000 ?
Réponds à la situation problème.

Propriétés algébriques

Pour

a, b > 0

n \in Z

\ln (a b) = \ln a + \ln b

;

\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b

;

\ln a^{n} = n \ln a

;

\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a

\ln a = \ln b ⟺ a = b

;

\ln a < \ln b ⟺ a < b

Exemple à traiter : Résous

\ln (x - 1) + \ln (x + 1) = \ln 3

\ln (2 x + 1) \leq 0

R2 · Limites et croissances comparées

lim_{0^{+}} \ln x = - \infty

;

lim_{+ \infty} \ln x = + \infty

;

lim_{+ \infty} \frac{\ln x}{x^{n}} = 0

;

lim_{0^{+}} x^{n} \ln x = 0

(

n \geq 1

) ;

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1

Exemple à traiter : Calcule

lim_{+ \infty} (x - \ln x)

lim_{0^{+}} x \ln^{2} x

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x}

Dérivée et primitives

(\ln | u |)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

pour

u

dérivable ne s’annulant pas ; une primitive de

\frac{u^{'}}{u}

est

\ln | u |

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = \frac{1 + \ln x}{x}

. Détermine une primitive de

\tan x

sur

] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [

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Erreurs fréquentes

⚠ Logarithme d’une somme

\ln (a + b) \neq \ln a + \ln b

⚠ Valeur absolue

Une primitive de

\frac{1}{x}

sur

] - \infty; 0 [

est \(\ln

Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = x - 1 - \ln x$ , puis déduis-en que $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ .
Résous le système ${\begin{cases} \ln x + \ln y = \ln 12 \\ x + y = 7 \end{cases}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\ln (a b) = \ln a + \ln b

\frac{\ln x}{x} \to 0

x \ln x \to 0

(\ln | u |)^{'} = \frac{u^{'}}{u}