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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 2

Étude de quelques fonctions définies à l’aide de exp

Études complètes de fonctions exponentielles.

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Cours de Mathématiques : « Étude de quelques fonctions définies à l’aide de exp », proposé par ndolomathndolomath

Fonctions avec exp

💡 Idée principale : Pour étudier une fonction construite avec l’exponentielle, on utilise :

e^{x} > 0

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

, les limites

lim_{- \infty} e^{x} = 0

lim_{+ \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty

lim_{- \infty} x^{n} e^{x} = 0

, et les asymptotes et positions relatives. Ces fonctions modélisent croissance, décroissance et saturation.

Ce que tu vas apprendre

Étudier des fonctions du type $(a x + b) e^{x}$ , $a x + b + c e^{- x}$ , $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .
Déterminer les asymptotes et la position relative de la courbe et d’une asymptote oblique.
Utiliser une fonction auxiliaire pour étudier le signe d’une dérivée.
Exploiter l’étude pour résoudre un problème concret (optimisation, modèle de croissance).

Pourquoi cette leçon ?

La propagation d’une rumeur, la vente d’un nouveau produit, la concentration d’un médicament dans le sang : ces phénomènes sont modélisés par des fonctions exponentielles qu’il faut savoir étudier.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

x e^{- x}

Calcule

lim_{x \to + \infty} x e^{- x}

Étudie le signe de

(1 - x) e^{- x}

Situation problème : Le médicament

La concentration d’un médicament dans le sang (en mg/L) $t$ heures après une injection est $C (t) = 20 t e^{- 0, 5 t}$ .
À quel instant la concentration est-elle maximale ? Que devient-elle à long terme ? Pendant combien de temps dépasse-t-elle 10 mg/L ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $C$ sur $[0; + \infty [$ .

Calcule $C^{'} (t)$ et étudie son signe.
Dresse le tableau de variation de $C$ avec la limite en $+ \infty$ .
Utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour encadrer les instants où $C (t) = 10$ .
Réponds à la situation problème.

Fonctions (ax + b)eˣ

f (x) = (a x + b) e^{x}

a pour dérivée

(a x + a + b) e^{x}

, du signe de

a x + a + b

. En

- \infty

lim f = 0

(croissances comparées) : l’axe des abscisses est asymptote.

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = (x - 1) e^{x}

R2 · Asymptote oblique

f (x) = a x + b + g (x)

avec

lim g = 0

+ \infty

(par exemple

g (x) = c e^{- x}

), la droite

y = a x + b

est asymptote ; le signe de

g (x)

donne la position.

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = x + 1 + 2 e^{- x}

; précise son asymptote et la position de la courbe.

Fonction auxiliaire

Si le signe de

f^{'}

n’est pas évident, on étudie une fonction auxiliaire

g

(variations, valeur de

α

où

g

s’annule), puis on en déduit le signe de

f^{'}

Exemple à traiter : Soit

g (x) = e^{x} - x - 2

. Étudie

g

, montre que

g (x) = 0

a deux solutions, puis utilise

g

pour étudier

f (x) = e^{x} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x

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Erreurs fréquentes

⚠ Signe de l’exponentielle

e^{u}

est toujours positif : il ne change pas le signe.

⚠ Forme indéterminée

- \infty

x e^{x}

se traite par croissances comparées.

Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ ; montre que le point $(0; \frac{1}{2})$ est centre de symétrie.
Étudie et représente $g (x) = x^{2} e^{- x}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

e^{u} > 0

. Croissances comparées pour les limites. Fonction auxiliaire si le signe de

f^{'}

n’est pas direct.