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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 1

Fonction exponentielle népérienne x ↦ eˣ

Réciproque de ln, propriétés, limites, dérivée.

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Cours de Mathématiques : « Fonction exponentielle népérienne x ↦ eˣ », proposé par ndolomathndolomath

Exponentielle népérienne

💡 Idée principale : La fonction exponentielle est la réciproque de

\ln

y = e^{x} ⟺ x = \ln y

. Elle est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur

R

, égale à sa dérivée, transforme les sommes en produits, et croît plus vite que toute puissance de

x

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition et les propriétés algébriques de $e^{x}$ .
Résoudre des équations et inéquations avec $e^{x}$ .
Connaître les limites et croissances comparées ; dériver $e^{u}$ ; déterminer des primitives de $u^{'} e^{u}$ .
Étudier des fonctions comportant $e^{x}$ .

Pourquoi cette leçon ?

Croissance des populations, désintégration radioactive, charge d’un condensateur, refroidissement : l’exponentielle est la fonction des phénomènes dont la vitesse d’évolution est proportionnelle à la quantité présente.

Prérequis : vérifie tes bases

Simplifie

\ln (e^{3})

e^{\ln 5}

Résous

\ln x = - 2

Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x}

Situation problème : La datation au carbone 14

Le nombre de noyaux de carbone 14 dans un fossile est $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ , avec $λ = 1, 21 \times 10^{- 4}$ par an. Un fossile ne contient plus que 30 % du carbone 14 initial.
Quel est son âge ? Au bout de combien de temps la moitié du carbone 14 a-t-elle disparu ?

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Activité d’apprentissage

On résout des équations exponentielles.

Traduis « il reste 30 % » par une équation en $t$ .
Résous-la à l’aide de $\ln$ .
Calcule la demi-vie $T$ telle que $N (T) = \frac{N_{0}}{2}$ .
Réponds à la situation problème.

Définition et propriétés

Pour tout réel

x

e^{x} > 0

;

\ln (e^{x}) = x

;

e^{\ln x} = x

(

x > 0

e^{a + b} = e^{a} e^{b}

;

e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}

;

e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}

;

(e^{a})^{n} = e^{n a}

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

;

e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

Exemple à traiter : Résous

e^{2 x} - 4 e^{x} + 3 = 0

e^{x^{2} - 1} \geq e^{3}

R2 · Limites et croissances comparées

lim_{- \infty} e^{x} = 0

;

lim_{+ \infty} e^{x} = + \infty

;

lim_{+ \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty

;

lim_{- \infty} x^{n} e^{x} = 0

;

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

Exemple à traiter : Calcule

lim_{+ \infty} (x^{2} - e^{x})

lim_{- \infty} x^{3} e^{x}

lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1}{x}

Dérivée et primitives

(e^{x})^{'} = e^{x}

;

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

; une primitive de

u^{'} e^{u}

est

e^{u}

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = (x + 1) e^{- x}

. Détermine une primitive de

x e^{x^{2}}

Erreurs fréquentes

⚠ Exponentielle d’une somme

e^{a + b} = e^{a} e^{b}

, pas

e^{a} + e^{b}

⚠ Positivité

e^{u} > 0

: on peut diviser par

e^{u}

sans changer le sens.

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Exercice d’application

Montre que pour tout réel $x$ , $e^{x} \geq 1 + x$ .
Étudie et représente $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ ; montre que le point $(0; \frac{1}{2})$ est centre de symétrie.
Réponds à la situation problème.

À retenir

e^{x} > 0

, réciproque de

\ln

e^{a + b} = e^{a} e^{b}

\frac{e^{x}}{x^{n}} \to + \infty

x^{n} e^{x} \to 0

- \infty

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}