Cours

MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Équations différentielles · Leçon 4

Équations af '' + bf ' + cf = d

Solution particulière + solution générale homogène.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Équations af '' + bf ' + cf = d », proposé par ndolomathndolomath

Équations avec second membre

💡 Idée principale : Les solutions de

a y^{″} + b y^{'} + c y = d

(

d

constante ou fonction simple) s’obtiennent en ajoutant une solution particulière

y_{p}

à la solution générale de l’équation homogène

a y^{″} + b y^{'} + c y = 0

. Si

d

est une constante et

c \neq 0

y_{p} = \frac{d}{c}

Ce que tu vas apprendre

Déterminer une solution particulière constante, polynomiale ou trigonométrique.
Écrire la solution générale d’une équation avec second membre.
Déterminer la solution vérifiant des conditions initiales ; interpréter dans un modèle physique.

Pourquoi cette leçon ?

Un ressort soumis à la pesanteur, un circuit alimenté par une pile : le second membre représente une force ou une tension extérieure qui déplace la position d’équilibre.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

y^{″} + 4 y = 0

Pour quelle constante

k

a-t-on

4 k = 8

Dérive deux fois

a x + b

Situation problème : Le ressort vertical

Une masse accrochée à un ressort vertical subit la pesanteur. Son abscisse $x (t)$ (en cm) vérifie $x^{″} + 4 x = 8$ , avec $x (0) = 0$ et $x^{'} (0) = 0$ .
Autour de quelle position la masse oscille-t-elle ? Quelle est l’équation du mouvement ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Équations af '' + bf ' + cf = d », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On cherche d’abord une solution constante, puis on résout l’équation homogène.

Trouve la solution constante $x_{p}$ .
Résous l’équation homogène $x^{″} + 4 x = 0$ .
Écris la solution générale et utilise les conditions initiales.
Réponds à la situation problème.

Principe

y_{p}

est une solution particulière de

(E) : a y^{″} + b y^{'} + c y = d

, les solutions de

(E)

sont les fonctions

y = y_{p} + y_{h}

, où

y_{h}

est solution de l’équation homogène

(E_{0})

Exemple à traiter : Montre que

y_{p} = 2

est solution de

y^{″} - y = - 2

et résous cette équation.

R2 · Recherche d’une solution particulière

d

est constant et

c \neq 0

y_{p} = \frac{d}{c}

. Si

d

est un polynôme, on cherche

y_{p}

polynôme de même degré (si

c \neq 0

). Si

d = \cos ω x

\sin ω x

, on cherche

y_{p} = λ \cos ω x + μ \sin ω x

(hors cas de résonance).

Exemple à traiter : Détermine une solution particulière de

y^{″} + y^{'} - 2 y = 4 x

puis de

y^{″} + y = \cos 2 x

Conditions initiales

Une fois la solution générale écrite, on détermine les deux constantes par les conditions

y (x_{0})

y^{'} (x_{0})

Exemple à traiter : Résous

y^{″} - 3 y^{'} + 2 y = 6

avec

y (0) = 0

y^{'} (0) = 1

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Équations af '' + bf ' + cf = d », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Ordre des étapes

On applique les conditions initiales à la solution complète

y_{p} + y_{h}

, pas seulement à

y_{h}

⚠ Solution particulière

On vérifie toujours

y_{p}

en remplaçant dans l’équation.

Exercice d’application

Résous $y^{″} + 2 y^{'} + y = x + 3$ .
Dans un circuit RLC, la charge $q (t)$ vérifie $q^{″} + 2 q^{'} + 5 q = 10$ . Détermine $q (t)$ avec $q (0) = 0$ , $q^{'} (0) = 0$ et sa limite en $+ \infty$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Solution générale = solution particulière + solution de l’équation homogène.

d

constant :

y_{p} = \frac{d}{c}

. Conditions initiales sur la solution complète.