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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Équations différentielles · Leçon 3

Équations af '' + bf ' + cf = 0

Équation caractéristique et solutions.

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Cours de Mathématiques : « Équations af '' + bf ' + cf = 0 », proposé par ndolomathndolomath

Équations du second ordre

💡 Idée principale : Pour résoudre

a y^{″} + b y^{'} + c y = 0

(

a \neq 0

), on étudie l’équation caractéristique

a r^{2} + b r + c = 0

. Si elle a deux racines réelles

r_{1} \neq r_{2}

y = A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x}

; une racine double

r

y = (A x + B) e^{r x}

; deux racines complexes

α \pm i β

y = e^{α x} (A \cos β x + B \sin β x)

Ce que tu vas apprendre

Écrire et résoudre l’équation caractéristique.
Donner la solution générale selon le signe du discriminant.
Déterminer la solution vérifiant deux conditions initiales ; modéliser un oscillateur.

Pourquoi cette leçon ?

Un ressort qui oscille, un circuit électrique RLC, une suspension de voiture : leur mouvement obéit à une équation différentielle du second ordre.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

r^{2} - 3 r + 2 = 0

r^{2} + 4 = 0

Dérive deux fois

e^{r x}

Dérive deux fois

\cos 3 x

Situation problème : Le ressort du laboratoire

Une masse accrochée à un ressort est écartée de 2 cm de sa position d’équilibre puis lâchée sans vitesse. Son élongation $x (t)$ vérifie $x^{″} (t) + 25 x (t) = 0$ .
Quelle est l’équation du mouvement ? Quelle est la période des oscillations ?

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Activité d’apprentissage

On cherche des solutions de la forme $e^{r t}$ , puis on utilise les conditions initiales $x (0) = 2$ , $x^{'} (0) = 0$ .

Montre que $e^{r t}$ est solution si et seulement si $r^{2} + 25 = 0$ .
Vérifie que $x (t) = A \cos 5 t + B \sin 5 t$ est solution pour tous $A$ , $B$ .
Détermine $A$ et $B$ avec les conditions initiales et calcule la période.
Réponds à la situation problème.

Racines réelles distinctes

Δ = b^{2} - 4 a c > 0

, avec

r_{1}

r_{2}

racines de

a r^{2} + b r + c = 0

y (x) = A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x}

A, B \in R

Exemple à traiter : Résous

y^{″} - y^{'} - 2 y = 0

avec

y (0) = 1

y^{'} (0) = 0

R2 · Racine double

Δ = 0

, avec

r = - \frac{b}{2 a}

y (x) = (A x + B) e^{r x}

Exemple à traiter : Résous

y^{″} + 4 y^{'} + 4 y = 0

avec

y (0) = 2

y^{'} (0) = - 3

Racines complexes

Δ < 0

, avec

r = α \pm i β

y (x) = e^{α x} (A \cos β x + B \sin β x)

. Cas

y^{″} + ω^{2} y = 0

y = A \cos ω x + B \sin ω x

, qui s’écrit aussi

y = K \cos (ω x + φ)

Exemple à traiter : Résous

y^{″} + 2 y^{'} + 5 y = 0

, puis

y^{″} + 9 y = 0

avec

y (0) = 1

y^{'} (0) = 3

Erreurs fréquentes

⚠ Équation caractéristique

On associe

y^{″}

r^{2}

y^{'}

r

y

à 1.

⚠ Racine double

On n’oublie pas le facteur

A x + B

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Exercice d’application

Détermine la solution de $y^{″} - 4 y = 0$ dont la courbe passe par $(0; 1)$ avec une tangente horizontale.
Écris la solution de $y^{″} + 16 y = 0$ , $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 4$ sous la forme $K \cos (4 x + φ)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Équation caractéristique

a r^{2} + b r + c = 0

Δ > 0

A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x}

;

Δ = 0

(A x + B) e^{r x}

;

Δ < 0

e^{α x} (A \cos β x + B \sin β x)