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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Équations différentielles · Leçon 2

Équations f ’ = g et f ’ = af

Primitives et solutions exponentielles.

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Cours de Mathématiques : « Équations f ’ = g et f ’ = af », proposé par ndolomathndolomath

f ' = g et f ' = af

💡 Idée principale : Les solutions de

y^{'} = g

sont les primitives de

g

. Les solutions de

y^{'} = a y

sont les fonctions

x \mapsto C e^{a x}

C \in R

. Pour

y^{'} = a y + b

(

a \neq 0

), on ajoute la solution constante

- \frac{b}{a}

y = C e^{a x} - \frac{b}{a}

Ce que tu vas apprendre

Résoudre une équation $y^{'} = g (x)$ .
Résoudre $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ .
Déterminer la solution vérifiant une condition initiale ; modéliser des phénomènes de croissance, de décroissance et de refroidissement.

Pourquoi cette leçon ?

La désintégration radioactive, la charge d’un condensateur ou la croissance d’une population sans contrainte sont décrites par

y^{'} = a y

y^{'} = a y + b

Prérequis : vérifie tes bases

Donne une primitive de

3 x^{2} - \cos x

Dérive

5 e^{- 2 x}

Résous

a ℓ + b = 0

Situation problème : La charge du condensateur

Dans un circuit, la tension $u (t)$ aux bornes d’un condensateur vérifie $u^{'} (t) = - \frac{1}{2} u (t) + 6$ (en volts, $t$ en secondes), avec $u (0) = 0$ .
Quelle est l’expression de $u (t)$ ? Vers quelle tension tend-elle ?

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Activité d’apprentissage

On résout l’équation $u^{'} = - \frac{1}{2} u + 6$ .

Cherche la solution constante.
Résous l’équation sans second membre $u^{'} = - \frac{1}{2} u$ .
Écris la solution générale et utilise $u (0) = 0$ .
Réponds à la situation problème.

Équation y' = g

g

est continue sur

I

, les solutions de

y^{'} = g

sont les

y = G + C

, où

G

est une primitive de

g

Exemple à traiter : Résous

y^{'} = 2 x - \sin x

avec

y (0) = 3

R2 · Équation y' = ay

Les solutions de

y^{'} = a y

sur

R

sont les fonctions

y (x) = C e^{a x}

C \in R

. Il existe une unique solution vérifiant

y (x_{0}) = y_{0}

Exemple à traiter : Résous

y^{'} = - 3 y

avec

y (0) = 2

, et

2 y^{'} + y = 0

avec

y (1) = e

Équation y' = ay + b

Pour

a \neq 0

, les solutions de

y^{'} = a y + b

sont

y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}

Exemple à traiter : Résous

y^{'} = 2 y - 4

avec

y (0) = 5

Erreurs fréquentes

⚠ Signe de a

Pour

y^{'} + 3 y = 0

, on a

a = - 3

⚠ Solution constante

Pour

y^{'} = a y + b

, la constante est

- \frac{b}{a}

, pas

\frac{b}{a}

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Exercice d’application

Une substance radioactive perd la moitié de sa masse en 30 ans. Écris l’équation différentielle vérifiée par la masse $m (t)$ et détermine $m (t)$ si $m (0) = 10$ g.
Résous $y^{'} - y = e^{2 x}$ en cherchant une solution particulière de la forme $k e^{2 x}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

y^{'} = g

: primitives.

y^{'} = a y

C e^{a x}

y^{'} = a y + b

C e^{a x} - \frac{b}{a}

. Condition initiale ⇒

C