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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Équations différentielles · Leçon 1

Présentation

Notion d’équation différentielle et de solution.

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Équations différentielles

💡 Idée principale : Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction et qui fait intervenir ses dérivées, comme

y^{'} = 2 y

y^{″} + y = 0

. Résoudre, c’est trouver toutes les fonctions solutions ; une condition initiale fixe une solution particulière.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une équation différentielle et son ordre.
Vérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle.
Modéliser une situation par une équation différentielle et comprendre le rôle des conditions initiales.

Pourquoi cette leçon ?

La vitesse de refroidissement d’un objet, la croissance d’une population, l’oscillation d’un ressort : les lois de la physique et de la biologie s’écrivent sous forme d’équations différentielles.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

e^{3 x}

\cos 2 x

Dérive deux fois

\sin 3 x

Résous

2 = C e^{0}

Situation problème : Le refroidissement du café

Selon la loi de Newton, la vitesse de refroidissement d’un café est proportionnelle à l’écart entre sa température $θ (t)$ et celle de la pièce (20 °C) : $θ^{'} (t) = - 0, 1 (θ (t) - 20)$ . Le café est à 80 °C à $t = 0$ .
Quelle fonction décrit la température ? Est-elle unique ?

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Activité d’apprentissage

On teste des fonctions candidates.

Vérifie que $θ (t) = 20 + C e^{- 0, 1 t}$ est solution pour tout réel $C$ .
Détermine $C$ pour que $θ (0) = 80$ .
Calcule la température au bout de 10 minutes.
Réponds à la situation problème.

Définition

Une équation différentielle d’ordre

n

relie une fonction inconnue

y

, sa variable et ses dérivées jusqu’à l’ordre

n

. Une solution sur

I

est une fonction

n

fois dérivable sur

I

qui vérifie l’équation.

Exemple à traiter : Donne l’ordre des équations

y^{'} + 3 y = x

y^{″} - 4 y = 0

et vérifie que

y = e^{2 x}

est solution de la seconde.

R2 · Vérification

Pour vérifier qu’une fonction est solution, on calcule ses dérivées et on remplace dans l’équation.

Exemple à traiter : Vérifie que pour tous réels

A

B

y = A \cos 2 x + B \sin 2 x

est solution de

y^{″} + 4 y = 0

Conditions initiales

Une équation différentielle a en général une infinité de solutions dépendant de constantes ; des conditions initiales (

y (x_{0})

, et

y^{'} (x_{0})

à l’ordre 2) déterminent une solution unique.

Exemple à traiter : Parmi les solutions de R2, détermine celle qui vérifie

y (0) = 1

y^{'} (0) = 2

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Erreurs fréquentes

⚠ Solution unique

Sans condition initiale, une équation différentielle a une infinité de solutions.

⚠ Variable

L’inconnue est une fonction, pas un nombre.

Exercice d’application

Vérifie que $y = x^{2} + 1$ est solution de $x y^{'} - 2 y = - 2$ .
Une population de bactéries croît à une vitesse proportionnelle à sa taille. Écris l’équation différentielle correspondante.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Équation différentielle : inconnue fonction + dérivées. Vérifier en remplaçant. Les conditions initiales fixent les constantes.