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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Calculs des intégrales · Leçon 4

Quelques méthodes de calcul des intégrales

Intégration par parties et changement de variable.

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Cours de Mathématiques : « Quelques méthodes de calcul des intégrales », proposé par ndolomathndolomath

Méthodes de calcul

💡 Idée principale : Lorsqu’on ne reconnaît pas directement une primitive, on utilise l’intégration par parties

\int_{a}^{b} u^{'} v = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u v^{'}

, le changement de variable affine, ou une décomposition (linéarisation, fractions rationnelles). Les intégrales permettent aussi de définir des suites étudiées par récurrence.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser l’intégration par parties.
Utiliser un changement de variable affine et exploiter parité et périodicité.
Calculer des intégrales de fractions rationnelles simples et de fonctions trigonométriques.
Étudier des suites d’intégrales.

Pourquoi cette leçon ?

Comment calculer

\int_{0}^{1} x e^{x} d x

\int_{1}^{e} \ln x d x

? Aucune primitive n’apparaît directement. L’intégration par parties transforme le problème en un calcul plus simple.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

u v

Donne une primitive de

e^{x}

et de

\frac{1}{x}

Décompose

\frac{1}{x (x + 1)}

\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1}

Situation problème : L’intégrale du logarithme

Un élève doit calculer $\int_{1}^{e} \ln x d x$ mais ne connaît pas de primitive de $\ln$ .
Comment faire ?

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Activité d’apprentissage

On écrit $\ln x = 1 \times \ln x$ et on pose $u^{'} (x) = 1$ , $v (x) = \ln x$ .

Dérive $x \ln x$ .
Exprime $\ln x$ à l’aide de $(x \ln x)^{'}$ et d’une autre fonction.
Déduis-en $\int_{1}^{e} \ln x d x$ .
Réponds à la situation problème.

Intégration par parties

u

v

sont dérivables à dérivées continues sur

[a; b]

\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x

. On choisit

v

qui se simplifie en dérivant (polynôme,

\ln

Exemple à traiter : Calcule

\int_{0}^{1} x e^{x} d x

\int_{0}^{π} x \sin x d x

\int_{1}^{e} x \ln x d x

R2 · Changement de variable affine, parité, périodicité

\int_{a}^{b} f (α t + β) d t = \frac{1}{α} \int_{α a + β}^{α b + β} f (x) d x

. Si

f

est paire :

\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f

; impaire :

\int_{- a}^{a} f = 0

. Si

f

est

T

-périodique :

\int_{a}^{a + T} f = \int_{0}^{T} f

Exemple à traiter : Calcule

\int_{- 1}^{1} x^{3} \cos x d x

\int_{0}^{2 π} | \sin x | d x

Fractions rationnelles et suites d’intégrales

On décompose la fraction en éléments simples

\frac{a}{x - α}

\frac{b}{(x - α)^{2}}

. Pour une suite

I_{n}

, une intégration par parties donne souvent une relation de récurrence.

Exemple à traiter : Calcule

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x (x + 1)}

. Soit

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x

: établis une relation entre

I_{n + 1}

I_{n}

et calcule

I_{2}

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Erreurs fréquentes

⚠ Mauvais choix

Pour

\int x e^{x}

, poser

v = e^{x}

u^{'} = x

complique le calcul.

⚠ Crochet oublié

On n’oublie pas le terme

[u v]_{a}^{b}

Exercice d’application

Calcule $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} \cos x d x$ par deux intégrations par parties.
Calcule $\int_{0}^{1} \frac{x + 2}{x^{2} + 3 x + 2} d x$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

IPP :

\int u^{'} v = [u v] - \int u v^{'}

. Parité :

\int_{- a}^{a}

impaire

= 0

. Fractions : éléments simples. Suites d’intégrales : récurrence par IPP.