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MATHÉMATIQUES · Tle TI
Chapitre : Calculs des intégrales · Leçon 3

Positivité et inégalité de la moyenne

Encadrer une intégrale.
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Cours de Mathématiques : « Positivité et inégalité de la moyenne », proposé par ndolomathndolomath
Positivité et moyenne
💡 Idée principale : Si f≥0 sur [a;b] (a≤b), alors ∫abf≥0 ; si f≤g, alors ∫abf≤∫abg. Si m≤f≤M, alors m(b−a)≤∫abf≤M(b−a). La valeur moyenne de f sur [a;b] est μ=1b−a∫abf.
Ce que tu vas apprendre
  1. Utiliser la positivité et la croissance de l’intégrale.
  2. Encadrer une intégrale avec l’inégalité de la moyenne.
  3. Calculer la valeur moyenne d’une fonction.
Pourquoi cette leçon ?
On ne sait pas calculer ∫01e−x2dx avec des primitives usuelles. On peut pourtant l’encadrer, ce qui suffit souvent en pratique.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Montre que e−x2≤1 pour tout x.
2
Calcule la moyenne de 12, 15, 18.
3
Calcule ∫01xdx.
Situation problème : La température moyenne

La température à Garoua entre 6 h et 18 h est modélisée par T(t)=25+10sin⁡(π(t−6)12) (en °C).
Quelle est la température moyenne sur cette période ? Est-elle égale à la moyenne de la température minimale et de la maximale ?

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Activité d’apprentissage

On calcule la valeur moyenne de T sur [6;18].

  1. Détermine les températures minimale et maximale sur [6;18].
  2. Calcule μ=112∫618T(t)dt.
  3. Compare μ avec la moyenne du minimum et du maximum.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Positivité et ordre
Pour a≤b : si f≥0 sur [a;b], alors ∫abf≥0 ; si f≤g, alors ∫abf≤∫abg ; |∫abf|≤∫ab|f|.
Exemple à traiter : Sans calcul, donne le signe de ∫12ln⁡xdx et compare ∫01x2dx et ∫01x3dx.
R2 · Inégalité de la moyenne
Si m≤f(x)≤M sur [a;b] : m(b−a)≤∫abf≤M(b−a). Si |f|≤M : |∫abf|≤M|b−a|.
Exemple à traiter : Encadre ∫01e−x2dx et ∫01dx1+x4.
R3
Valeur moyenne
La valeur moyenne de f sur [a;b] (a<b) est μ=1b−a∫abf(x)dx. Si f est continue, il existe c∈[a;b] tel que f(c)=μ.
Exemple à traiter : Calcule la valeur moyenne de f(x)=x2 sur [0;3] et trouve c tel que f(c)=μ.
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Erreurs fréquentes
⚠ Bornes inversées
Les inégalités supposent a≤b.
⚠ Moyenne
La valeur moyenne n’est pas f(a)+f(b)2 en général.
Exercice d’application
  1. Soit In=∫01xn1+xdx. Montre que 0≤In≤1n+1 et déduis-en la limite de In.
  2. Calcule la valeur moyenne de sin sur [0;π].
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
f≥0 ⇒ ∫f≥0 ; f≤g ⇒ ∫f≤∫g. m(b−a)≤∫abf≤M(b−a). μ=1b−a∫abf.
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Préparation du PDF…