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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Calculs des intégrales · Leçon 2

Applications : calculs d’aires et de volumes

Interprétation géométrique de l’intégrale.

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Cours de Mathématiques : « Applications : calculs d’aires et de volumes », proposé par ndolomathndolomath

Aires et volumes

💡 Idée principale : Si

f

est continue et positive sur

[a; b]

\int_{a}^{b} f

est l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites

x = a

x = b

. L’aire entre deux courbes est

\int_{a}^{b} | f - g |

. Le volume d’un solide de révolution autour de

(O x)

est

π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x

Ce que tu vas apprendre

Calculer l’aire d’un domaine sous une courbe et entre deux courbes.
Convertir une aire en unités d’aire en cm² selon le repère.
Calculer le volume d’un solide de révolution et le volume d’un solide par ses sections.

Pourquoi cette leçon ?

Comment calculer la surface d’un champ dont un bord suit une rivière sinueuse, ou le volume d’une jarre ? L’intégrale répond à ces questions de mesure.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\int_{0}^{2} x^{2} d x

Résous

x^{2} = x

Donne le volume d’un cylindre de rayon

r

et de hauteur

h

Situation problème : La jarre du potier

Un potier fabrique une jarre dont le profil, tourné autour de l’axe $(O x)$ , est la courbe de $f (x) = \sqrt{x}$ pour $0 \leq x \leq 4$ (en dm).
Quelle est la capacité de la jarre en litres ? Quelle est l’aire de son profil ?

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Activité d’apprentissage

On utilise les formules d’aire et de volume.

Calcule l’aire du domaine sous la courbe de $f$ sur $[0; 4]$ .
Écris le volume sous la forme $π \int_{0}^{4} f (x)^{2} d x$ .
Calcule ce volume (1 dm³ = 1 L).
Réponds à la situation problème.

Aire sous une courbe

f \geq 0

sur

[a; b]

\int_{a}^{b} f (x) d x

est l’aire du domaine

{M (x; y) ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f (x)}

en unités d’aire. Si

f \leq 0

, l’aire est

- \int_{a}^{b} f

. Une unité d’aire vaut (unité sur

O x

) × (unité sur

O y

Exemple à traiter : Calcule en cm² l’aire du domaine limité par la courbe de

f (x) = x^{2} - 4

, l’axe des abscisses et les droites

x = - 2

x = 2

(unités : 1 cm).

R2 · Aire entre deux courbes

L’aire du domaine limité par les courbes de

f

g

et les droites

x = a

x = b

est

\int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x

. On découpe selon la position relative des courbes.

Exemple à traiter : Calcule l’aire du domaine compris entre la parabole

y = x^{2}

et la droite

y = x + 2

Volumes

S (x)

est l’aire de la section du solide par le plan d’abscisse

x

, le volume est

V = \int_{a}^{b} S (x) d x

. Pour un solide de révolution engendré par la courbe de

f

autour de

(O x)

V = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x

Exemple à traiter : Retrouve le volume d’une boule de rayon

R

en faisant tourner

f (x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

autour de

(O x)

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Erreurs fréquentes

⚠ Aire négative

Une aire est positive : si

f

est négative, on prend l’opposé de l’intégrale.

⚠ Unité d’aire

On convertit en cm² à l’aide des unités des axes.

Exercice d’application

Calcule l’aire du domaine limité par les courbes de $\sin x$ et $\cos x$ entre $0$ et $\frac{π}{4}$ .
Calcule le volume d’un cône de hauteur $h$ et de rayon de base $r$ par intégration.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Aire :

\int_{a}^{b} f

f \geq 0

. Entre deux courbes :

\int_{a}^{b} | f - g |

. Révolution :

V = π \int_{a}^{b} f^{2}