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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Calculs des intégrales · Leçon 1

Présentation et propriétés de calculs

Définition par les primitives et propriétés.

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Cours de Mathématiques : « Présentation et propriétés de calculs », proposé par ndolomathndolomath

Intégrale : définition

💡 Idée principale : Si

f

est continue sur un intervalle

I

F

une primitive de

f

, l’intégrale de

a

b

est

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

. Elle vérifie la relation de Chasles et la linéarité. La fonction

x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

est la primitive de

f

qui s’annule en

a

Ce que tu vas apprendre

Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.
Utiliser la relation de Chasles et la linéarité.
Étudier une fonction définie par une intégrale $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ .

Pourquoi cette leçon ?

Calculer la distance parcourue à partir de la vitesse, le volume d’eau écoulé à partir du débit, l’aire d’un terrain à bord courbe : l’intégrale additionne des quantités infiniment petites.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne une primitive de

3 x^{2} + 2 x

Calcule

F (2) - F (1)

pour

F (x) = x^{3}

Donne une primitive de

\cos x

Situation problème : Le débit du forage

Le débit d’un forage (en m³/h) varie au cours de la journée selon $d (t) = 3 + 2 \sin (\frac{π t}{12})$ , où $t$ est l’heure ( $0 \leq t \leq 24$ ).
Quel volume d’eau le forage fournit-il entre 6 h et 18 h ?

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Activité d’apprentissage

Le volume est la « somme » des débits sur la période : on calcule $\int_{6}^{18} d (t) d t$ .

Détermine une primitive $D$ de $d$ .
Calcule $D (18) - D (6)$ .
Interprète le résultat.
Réponds à la situation problème.

Définition

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

, indépendamment de la primitive choisie.

\int_{a}^{a} f = 0

;

\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f

Exemple à traiter : Calcule

\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x

R2 · Chasles et linéarité

\int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f = \int_{a}^{c} f

;

\int_{a}^{b} (α f + β g) = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g

Exemple à traiter : Calcule

\int_{- 1}^{2} | x | d x

en utilisant la relation de Chasles.

Fonction intégrale

f

est continue sur

I

a \in I

G (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

est dérivable sur

I

G^{'} = f

G (a) = 0

Exemple à traiter : Soit

G (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t^{2}} d t

. Calcule

G^{'} (x)

et étudie les variations de

G

. Montre que

G

est impaire.

Erreurs fréquentes

⚠ Ordre des bornes

F (b) - F (a)

et non

F (a) - F (b)

⚠ Valeur absolue

Pour \(

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Exercice d’application

Calcule $\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$ et $\int_{0}^{π} \sin^{2} x d x$ .
Soit $F (x) = \int_{1}^{x^{2}} \frac{d t}{t}$ . Calcule $F (x)$ et vérifie que $F^{'} (x) = \frac{2}{x}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)

. Chasles, linéarité.

{(\int_{a}^{x} f (t) d t)}^{'} = f (x)