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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Arithmétique dans Z · Leçon 5

PGCD et PPCM

Algorithme d’Euclide et propriétés.

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Cours de Mathématiques : « PGCD et PPCM », proposé par ndolomathndolomath

PGCD et PPCM

💡 Idée principale : Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun ; le PPCM leur plus petit multiple commun positif. On calcule le PGCD par l’algorithme d’Euclide ou par la décomposition en facteurs premiers. On a

PGCD (a, b) \times PPCM (a, b) = | a b |

Ce que tu vas apprendre

Calculer le PGCD par l’algorithme d’Euclide et par les décompositions.
Utiliser les propriétés du PGCD : $PGCD (k a, k b) = k PGCD (a, b)$ , nombres premiers entre eux.
Calculer le PPCM et utiliser la relation $PGCD \times PPCM = | a b |$ .

Pourquoi cette leçon ?

Découper un terrain rectangulaire en carrés identiques les plus grands possible ; savoir quand deux bus partis ensemble se retrouveront au terminus : le PGCD et le PPCM répondent à ces questions.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne les diviseurs communs de 24 et 36.

Donne trois multiples communs de 4 et 6.

Effectue la division euclidienne de 1 071 par 462.

Situation problème : Le carrelage de la cour

On veut carreler une cour rectangulaire de 1 071 cm sur 462 cm avec des carreaux carrés identiques, sans découpe, les plus grands possible.
Quel est le côté des carreaux ? Combien en faut-il ?

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Activité d’apprentissage

Le côté cherché est le plus grand diviseur commun de 1 071 et 462.

Montre que $PGCD (1 071, 462) = PGCD (462, r)$ , où $r$ est le reste de la division de 1 071 par 462.
Répète le procédé jusqu’à obtenir un reste nul.
Déduis-en le côté et le nombre de carreaux.
Réponds à la situation problème.

Algorithme d’Euclide

a = b q + r

, alors

PGCD (a, b) = PGCD (b, r)

. Le PGCD est le dernier reste non nul de la suite des divisions euclidiennes.

Exemple à traiter : Calcule

PGCD (2 026, 1 234)

par l’algorithme d’Euclide.

R2 · Propriétés

Les diviseurs communs de

a

b

sont les diviseurs de leur PGCD.

PGCD (k a, k b) = | k | PGCD (a, b)

a

b

sont premiers entre eux si

PGCD (a, b) = 1

. Si

d = PGCD (a, b)

, alors

a = d a^{'}

b = d b^{'}

avec

a^{'}

b^{'}

premiers entre eux.

Exemple à traiter : Détermine les couples d’entiers naturels

(a, b)

tels que

a + b = 84

PGCD (a, b) = 12

PPCM

PPCM (a, b)

est le plus petit multiple commun strictement positif ; les multiples communs sont les multiples du PPCM.

PGCD (a, b) \times PPCM (a, b) = | a b |

Exemple à traiter : Calcule

PPCM (84, 120)

de deux façons.

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Erreurs fréquentes

⚠ Dernier reste

Le PGCD est le dernier reste non nul, pas le dernier quotient.

⚠ Décomposition

PGCD : exposants minimaux ; PPCM : exposants maximaux.

Exercice d’application

Deux bus partent du même terminus à 6 h ; l’un revient toutes les 36 min, l’autre toutes les 48 min. À quelle heure se retrouvent-ils pour la première fois au terminus ?
Démontre que pour tout entier $n$ , $PGCD (2 n + 1, 3 n + 1) = 1$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Euclide :

PGCD (a, b) = PGCD (b, r)

, dernier reste non nul.

PGCD \times PPCM = | a b |