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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Arithmétique dans Z · Leçon 4

Nombres premiers

Reconnaître, décomposer et utiliser les nombres premiers.

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Cours de Mathématiques : « Nombres premiers », proposé par ndolomathndolomath

Nombres premiers

💡 Idée principale : Un entier

p \geq 2

est premier s’il n’a que deux diviseurs positifs : 1 et

p

. Il existe une infinité de nombres premiers ; tout entier

n \geq 2

se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers. Pour tester si

n

est premier, il suffit d’essayer les premiers

p \leq \sqrt{n}

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître un nombre premier ; utiliser le crible d’Ératosthène.
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
Déterminer le nombre et la liste des diviseurs d’un entier.
Démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.

Pourquoi cette leçon ?

La sécurité des paiements par téléphone et sur Internet repose sur la difficulté de décomposer de grands nombres en facteurs premiers.

Prérequis : vérifie tes bases

Le nombre 91 est-il premier ?

Décompose 360 en produit de facteurs premiers.

Calcule

\sqrt{221}

à l’unité près.

Situation problème : Le code secret

Pour sécuriser son application de transfert d’argent, une start-up choisit un code égal au produit de deux nombres premiers. Un pirate trouve le nombre 221.
Peut-il retrouver les deux nombres premiers ? Jusqu’où doit-il chercher ?

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Activité d’apprentissage

On cherche les diviseurs premiers de 221.

Teste la divisibilité de 221 par 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Pourquoi suffit-il de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{221}$ ?
Décompose 221.
Réponds à la situation problème.

Nombres premiers

Tout entier

n \geq 2

admet au moins un diviseur premier. Si

n

n’est pas premier, il admet un diviseur premier

p

tel que

p^{2} \leq n

. Il existe une infinité de nombres premiers.

Exemple à traiter : Les nombres 437 et 541 sont-ils premiers ? Démontre qu’il existe une infinité de nombres premiers.

R2 · Décomposition

Tout entier

n \geq 2

s’écrit de manière unique (à l’ordre près)

n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{k}^{α_{k}}

, avec

p_{i}

premiers distincts et

α_{i} \geq 1

Exemple à traiter : Décompose 2 520 et 7 007 en produit de facteurs premiers.

Diviseurs

Les diviseurs positifs de

n = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{k}^{α_{k}}

sont les

p_{1}^{β_{1}} \dots p_{k}^{β_{k}}

avec

0 \leq β_{i} \leq α_{i}

; leur nombre est

(α_{1} + 1) \dots (α_{k} + 1)

Exemple à traiter : Combien 360 a-t-il de diviseurs ? Donne-les tous.

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Erreurs fréquentes

⚠ 1 est premier

1 n’est pas premier : il n’a qu’un diviseur.

⚠ Tester tous les nombres

On teste seulement les premiers jusqu’à

\sqrt{n}

Exercice d’application

Détermine le plus petit entier ayant exactement 10 diviseurs.
Démontre que si $p \geq 5$ est premier, alors $p^{2} - 1$ est divisible par 24.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Premier : exactement deux diviseurs. Tester jusqu’à

\sqrt{n}

. Décomposition unique ; nombre de diviseurs

\prod (α_{i} + 1)