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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Arithmétique dans Z · Leçon 3

Divisibilité dans ℤ et notion de congruence

Calculer avec les restes.

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Cours de Mathématiques : « Divisibilité dans ℤ et notion de congruence », proposé par ndolomathndolomath

Divisibilité et congruences

💡 Idée principale : Dans

Z

a

divise

b

s’il existe

k \in Z

tel que

b = k a

. Deux entiers sont congrus modulo

n

s’ils ont le même reste dans la division par

n

a \equiv b [n] ⟺ n ∣ a - b

. Les congruences se manipulent comme des égalités pour l’addition, la multiplication et les puissances.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser les propriétés de la divisibilité dans $Z$ .
Définir et utiliser la congruence modulo $n$ .
Utiliser les propriétés des congruences (somme, produit, puissance) pour calculer des restes.

Pourquoi cette leçon ?

Quel est le chiffre des unités de

7^{2026}

? Quel jour serons-nous dans 1 000 jours ? Les congruences permettent ces calculs sans manipuler d’énormes nombres.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne le reste de la division de 47 par 5.

Calcule

7^{2}

7^{3}

7^{4}

et leurs chiffres des unités.

Développe

(5 k + 2)^{2}

Situation problème : Le chiffre des unités

Un défi est lancé en classe : trouver le chiffre des unités de $7^{2026}$ sans calculatrice.
Comment relever ce défi ?

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Activité d’apprentissage

On s’intéresse au reste de $7^{n}$ dans la division par 10.

Calcule les restes de $7^{1}$ , $7^{2}$ , $7^{3}$ , $7^{4}$ modulo 10.
Que remarques-tu pour $7^{4}$ ?
Écris $2026 = 4 q + r$ et déduis-en le reste de $7^{2026}$ modulo 10.
Réponds à la situation problème.

Divisibilité dans ℤ

a ∣ b

s’il existe

k \in Z

tel que

b = k a

. Si

a ∣ b

a ∣ c

, alors

a ∣ u b + v c

pour tous

u, v \in Z

Exemple à traiter : Détermine les entiers

n

tels que

n - 2

divise

n + 5

R2 · Congruences

a \equiv b [n] ⟺ n ∣ (a - b) ⟺

a

b

ont le même reste modulo

n

. Si

a \equiv b

c \equiv d [n]

, alors

a + c \equiv b + d

a c \equiv b d

a^{k} \equiv b^{k} [n]

Exemple à traiter : Détermine le reste de

2^{100}

dans la division par 7.

Équations de congruence

Pour résoudre

a x \equiv b [n]

, on dresse une table des restes de

a x

modulo

n

pour

x \in {0, 1, \dots, n - 1}

Exemple à traiter : Résous

3 x \equiv 4 [7]

x^{2} \equiv 1 [8]

Erreurs fréquentes

⚠ Diviser une congruence

On ne peut pas simplifier une congruence par un nombre comme une égalité.

⚠ Puissances

On cherche une puissance congrue à 1 pour réduire l’exposant.

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Exercice d’application

Démontre que pour tout $n \in N$ , $3^{2 n} - 2^{n}$ est divisible par 7.
Détermine le reste de $2026^{2026}$ dans la division par 5.
Réponds à la situation problème.

À retenir

a \equiv b [n] ⟺ n ∣ a - b

. Compatible avec

+

\times

, puissances. Chercher

a^{k} \equiv 1

pour réduire les exposants.