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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Arithmétique dans Z · Leçon 2

Numération binaire et numération décimale

Écriture des entiers en base 2 et en base 10.

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Cours de Mathématiques : « Numération binaire et numération décimale », proposé par ndolomathndolomath

Numération

💡 Idée principale : Tout entier naturel s’écrit de façon unique en base

b

(

b \geq 2

) :

N = a_{n} b^{n} + \dots + a_{1} b + a_{0}

, avec

0 \leq a_{i} < b

. La base 10 est notre système usuel ; la base 2 est celle des ordinateurs. On passe de l’une à l’autre par divisions successives.

Ce que tu vas apprendre

Écrire un entier en base 10 à partir de son écriture en base 2 (ou en base $b$ ).
Écrire un entier en base 2 par divisions successives.
Utiliser l’écriture en base 10 pour établir des critères de divisibilité.

Pourquoi cette leçon ?

Les ordinateurs ne connaissent que 0 et 1 ; les critères de divisibilité par 3, 9 ou 11 viennent de l’écriture décimale. Comprendre les bases relie arithmétique et informatique.

Prérequis : vérifie tes bases

Décompose 7 205 en puissances de 10.

Calcule

2^{10}

Effectue les divisions successives de 13 par 2.

Situation problème : Le message binaire

Un élève reçoit un message codé en binaire : 1000001 1001101 1001001. Chaque groupe représente le code d’une lettre (A = 65, B = 66, …).
Quel est le mot caché ? Comment coder le prénom « ALI » ?

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Activité d’apprentissage

On convertit chaque groupe en base 10.

Écris ${\overset{―}{1000001}}^{2}$ sous la forme d’une somme de puissances de 2.
Convertis les trois groupes en base 10 et trouve les lettres.
Écris 76 (code de L) en base 2 par divisions successives.
Réponds à la situation problème.

Écriture en base b

Tout entier

N

s’écrit de manière unique

N = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} b^{i}

avec

0 \leq a_{i} \leq b - 1

a_{n} \neq 0

; on note

N = {\overset{―}{a_{n} \dots a_{1} a_{0}}}^{b}

Exemple à traiter : Écris en base 10 :

{\overset{―}{110101}}^{2}

{\overset{―}{1203}}^{4}

R2 · Divisions successives

On divise

N

par

b

, puis le quotient par

b

, jusqu’à obtenir un quotient nul. Les restes, lus du dernier au premier, sont les chiffres de

N

en base

b

Exemple à traiter : Écris 2 026 en base 2 et en base 7.

Critères de divisibilité

Comme

10 \equiv 1 [9]

10 \equiv - 1 [11]

: un entier est divisible par 9 (resp. 3) si la somme de ses chiffres l’est ; il est divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres l’est.

Exemple à traiter : Démontre le critère de divisibilité par 9 pour un nombre de 4 chiffres. 918 082 est-il divisible par 11 ?

Erreurs fréquentes

⚠ Ordre des restes

Le premier reste obtenu est le chiffre des unités.

⚠ Chiffres

En base 2, seuls 0 et 1 sont permis.

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Exercice d’application

Détermine la base $b$ telle que ${\overset{―}{341}}^{b} = 116$ .
Écris en base 2 les nombres 255 et 256. Combien de chiffres ont-ils ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

N = \sum a_{i} b^{i}

0 \leq a_{i} < b

. Divisions successives par

b

, restes lus à l’envers. Critères : 3, 9 (somme), 11 (somme alternée).