Cours de Mathématiques : « Résolution de problèmes de probabilités », proposé par ndolomathndolomath
Problèmes de probabilités
💡 Idée principale : Un problème de probabilités se résout en modélisant la situation : identifier l’expérience et l’univers, choisir l’outil adapté (dénombrement, arbre pondéré, probabilités conditionnelles, variable aléatoire, loi binomiale), calculer, puis interpréter le résultat dans le contexte.
Ce que tu vas apprendre
Modéliser une situation de la vie courante par une expérience aléatoire.
Choisir l’outil adapté : dénombrement, arbre, conditionnement, loi binomiale.
Calculer une espérance pour prendre une décision et interpréter les résultats.
Pourquoi cette leçon ?
Faut-il souscrire une assurance ? Un jeu de hasard est-il rentable ? Un lot de semences est-il de bonne qualité ? Les probabilités aident à prendre des décisions rationnelles face à l’incertitude.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule .
2
Calcule l’espérance d’une variable prenant les valeurs et avec les probabilités et .
3
Rappelle la formule des probabilités totales.
Situation problème : Le lot de semences
Un agriculteur achète des semences de maïs chez un fournisseur qui annonce un taux de germination de 90 %. Il sème 10 graines dans un pot test. Seules 6 germent. Le fournisseur affirme que c’est « de la malchance ». Quelle est la probabilité d’observer 6 germinations ou moins si le taux annoncé est vrai ? L’agriculteur doit-il douter du fournisseur ?
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Activité d’apprentissage
On note le nombre de graines qui germent parmi les 10.
Justifie que suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
Calcule .
Calcule et compare avec l’observation.
Réponds à la situation problème.
R1
Démarche
1. Décrire l’expérience et les événements. 2. Reconnaître le modèle : équiprobabilité, arbre, répétition indépendante (binomiale). 3. Calculer avec les formules adaptées. 4. Interpréter dans le contexte.
Exemple à traiter : Dans un groupe de 30 élèves, 12 font du sport. On en choisit 3 au hasard. Calcule la probabilité qu’au moins un fasse du sport.
R2 · Arbres et conditionnement
Lorsque l’expérience se déroule en étapes dont les probabilités dépendent des étapes précédentes, on construit un arbre pondéré et on utilise et la formule des probabilités totales.
Exemple à traiter : 70 % des clients d’une boutique paient par mobile money, les autres en espèces. 20 % des paiements mobiles et 10 % des paiements en espèces dépassent 10 000 F. Un achat dépasse 10 000 F : probabilité qu’il ait été payé par mobile money ?
R3
Espérance et décision
Pour comparer des options, on calcule l’espérance de gain de chacune ; un jeu est favorable si l’espérance du gain est positive. La loi binomiale permet de juger si une observation est « rare » sous une hypothèse donnée.
Exemple à traiter : Une assurance coûte 15 000 F par an et rembourse 400 000 F en cas de vol, dont la probabilité est 0,03. Calcule l’espérance du gain de l’assureur par contrat.
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Erreurs fréquentes
⚠ Mauvais modèle
On n’utilise la loi binomiale que pour des épreuves identiques et indépendantes.
⚠ Interprétation
Une probabilité faible ne prouve pas qu’une hypothèse est fausse, elle la rend douteuse.
Exercice d’application
Un QCM a 20 questions à 4 choix. Un élève répond au hasard. Calcule l’espérance de sa note si une bonne réponse vaut 1 point et une mauvaise retire 0,25 point.
Une maladie touche 5 % des poulets d’un élevage. On prélève 15 poulets. Calcule la probabilité qu’au moins 2 soient malades.