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MATHÉMATIQUES · Tle D

Chapitre : Probabilités · Leçon 7

Formule des probabilités totales et formule de Bayes

Raisonner avec une partition et remonter aux causes.

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Cours de Mathématiques : « Formule des probabilités totales et formule de Bayes », proposé par ndolomathndolomath

Probabilités totales et Bayes

💡 Idée principale : Si

A_{1}, \dots, A_{n}

forment une partition de l’univers, la probabilité d’un événement

B

s’obtient en additionnant les probabilités des chemins qui y mènent :

P (B) = \sum P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)

. La formule de Bayes

P_{B} (A_{k}) = \frac{P (A_{k}) P_{A_{k}} (B)}{P (B)}

permet de « remonter » de l’effet observé à sa cause.

Ce que tu vas apprendre

Construire un arbre pondéré à partir d’une partition.
Utiliser la formule des probabilités totales.
Utiliser la formule de Bayes pour inverser un conditionnement.

Pourquoi cette leçon ?

Un médecin observe un symptôme et se demande quelle maladie en est la cause ; un contrôleur trouve une pièce défectueuse et veut savoir quelle machine l’a produite. La formule de Bayes répond à ces questions.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

0, 5 \times 0, 02 + 0, 3 \times 0, 04 + 0, 2 \times 0, 05

Qu’est-ce qu’une partition de l’univers ?

Calcule

\frac{0, 01}{0,032}

Situation problème : Les trois ateliers

Une usine de chaussures a trois ateliers : $A$ produit 50 % des chaussures avec 2 % de défauts, $B$ en produit 30 % avec 4 % de défauts, $C$ en produit 20 % avec 5 % de défauts. Un client rapporte une chaussure défectueuse.
De quel atelier provient-elle le plus probablement ?

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Activité d’apprentissage

On note $D$ « la chaussure est défectueuse ».

Construis l’arbre pondéré de la situation.
Calcule $P (D)$ à l’aide de la formule des probabilités totales.
Calcule $P_{D} (A)$ , $P_{D} (B)$ et $P_{D} (C)$ .
Réponds à la situation problème.

Partition et arbre

A_{1}, \dots, A_{n}

forment une partition de

Ω

s’ils sont deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles, et si leur réunion est

Ω

. Sur un arbre, la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1.

Exemple à traiter : Dans un lycée, 40 % des élèves sont en série C, 60 % en série D ; 70 % des élèves de C et 55 % des élèves de D réussissent au bac. Construis l’arbre correspondant.

R2 · Formule des probabilités totales

P (B) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (B) + \dots + P (A_{n}) P_{A_{n}} (B)

: c’est la somme des probabilités des chemins menant à

B

Exemple à traiter : Calcule la probabilité qu’un élève du lycée de R1 réussisse au bac.

Formule de Bayes

P_{B} (A_{k}) = \frac{P (A_{k}) P_{A_{k}} (B)}{P (B)}

Exemple à traiter : Un élève a réussi son bac. Quelle est la probabilité qu’il soit en série C ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Confusion

P_{D} (A)

(provenir de A sachant défectueuse) est différent de

P_{A} (D)

⚠ Partition incomplète

On vérifie que les

A_{i}

recouvrent tout l’univers.

Exercice d’application

Un test détecte une maladie présente chez 1 % de la population ; il est positif chez 99 % des malades et chez 2 % des non-malades. Calcule la probabilité d’être malade sachant que le test est positif. Commente.
Une urne $U_{1}$ contient 3 boules blanches et 2 noires, une urne $U_{2}$ 1 blanche et 4 noires. On choisit une urne au hasard puis une boule. La boule est blanche : probabilité qu’elle vienne de $U_{1}$ ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Probabilités totales :

P (B) = \sum P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)

. Bayes :

P_{B} (A_{k}) = \frac{P (A_{k}) P_{A_{k}} (B)}{P (B)}