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MATHÉMATIQUES · Tle D

Chapitre : Probabilités · Leçon 6

Indépendance et épreuves répétées

Événements indépendants et répétition d’expériences.

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Cours de Mathématiques : « Indépendance et épreuves répétées », proposé par ndolomathndolomath

Indépendance

💡 Idée principale : Deux événements

A

B

sont indépendants si

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

: la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Lorsqu’on répète des expériences indépendantes, la probabilité d’une suite d’issues est le produit des probabilités, ce qui se lit sur un arbre.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître et démontrer l’indépendance de deux événements.
Distinguer événements indépendants et incompatibles.
Calculer des probabilités dans une répétition d’expériences indépendantes à l’aide d’un arbre.

Pourquoi cette leçon ?

Si un feu est rouge, le suivant a-t-il plus de chances d’être rouge ? Une pièce « se souvient-elle » des lancers précédents ? L’indépendance est une hypothèse essentielle de nombreux modèles.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

0, 4 \times 0, 5

On lance une pièce et un dé : écris l’univers.

Rappelle

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

Situation problème : Les deux feux tricolores

Sur le trajet de Joël, il y a deux feux. Le premier est rouge avec une probabilité 0,4, le second avec une probabilité 0,5. On observe que la probabilité que les deux soient rouges est 0,2.
Les deux feux fonctionnent-ils indépendamment ? Quelle est la probabilité que Joël rencontre au moins un feu rouge ?

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Activité d’apprentissage

On note $R_{1}$ et $R_{2}$ les événements « le feu 1 est rouge », « le feu 2 est rouge ».

Calcule $P (R_{1}) \times P (R_{2})$ et compare à $P (R_{1} \cap R_{2})$ .
Calcule $P_{R_{1}} (R_{2})$ et compare à $P (R_{2})$ .
Calcule $P (R_{1} \cup R_{2})$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

A

B

sont indépendants si

P (A \cap B) = P (A) P (B)

. Si

P (A) \neq 0

, cela équivaut à

P_{A} (B) = P (B)

Exemple à traiter : On tire une carte d’un jeu de 32 cartes.

A

: « obtenir un cœur » ;

B

: « obtenir un roi ».

A

B

sont-ils indépendants ?

R2 · Propriétés

A

B

sont indépendants, alors

\bar{A}

B

A

\bar{B}

\bar{A}

\bar{B}

le sont aussi. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont pas indépendants.

Exemple à traiter : Démontre que si

A

B

sont indépendants, alors

\bar{A}

\bar{B}

le sont.

Expériences répétées

Lorsque l’on répète des expériences indépendantes, la probabilité d’une issue

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

est le produit

P (x_{1}) P (x_{2}) \dots P (x_{n})

; sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d’un chemin.

Exemple à traiter : Un tireur atteint sa cible avec une probabilité 0,7. Il tire 3 fois de façon indépendante. Calcule la probabilité qu’il atteigne la cible exactement 2 fois, puis au moins une fois.

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Erreurs fréquentes

⚠ Indépendant et incompatible

Ce sont deux notions différentes, souvent incompatibles entre elles.

⚠ Supposer l’indépendance

On ne multiplie les probabilités que si l’indépendance est justifiée.

Exercice d’application

On lance deux dés. $A$ : « le premier dé donne un nombre pair » ; $B$ : « la somme est 7 ». Montre que $A$ et $B$ sont indépendants.
Combien de fois faut-il lancer une pièce pour que la probabilité d’obtenir au moins un pile dépasse 0,999 ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Indépendants :

P (A \cap B) = P (A) P (B)

, ou

P_{A} (B) = P (B)

. Épreuves indépendantes : on multiplie le long des branches.