Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Statistiques à deux variables · Leçon 2

Ajustements linéaires

Moindres carrés, coefficient de corrélation, prévisions.

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Cours de Mathématiques : « Ajustements linéaires », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Lorsque le nuage de points est allongé, on l’ajuste par une droite. La méthode des moindres carrés donne la droite de régression de

y

x

y = a x + b

, avec

a = \frac{cov (X, Y)}{V (X)}

b = \bar{y} - a \bar{x}

. Le coefficient de corrélation linéaire

r = \frac{cov (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

mesure la qualité de l’ajustement.

Ce que tu vas apprendre

Ajuster un nuage par la méthode de Mayer.
Déterminer les droites de régression de $y$ en $x$ et de $x$ en $y$ .
Calculer et interpréter le coefficient de corrélation linéaire.
Effectuer des estimations et des prévisions ; utiliser un changement de variable.

Pourquoi cette leçon ?

Prévoir les ventes du mois prochain, estimer la taille adulte d’un enfant, anticiper la consommation d’électricité : l’ajustement linéaire est l’outil de prévision le plus simple et le plus utilisé.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\bar{x}

V (X)

pour 1, 2, 3, 4, 5.

Écris l’équation de la droite de coefficient directeur 2 passant par

G (3; 8)

Calcule

\sqrt{2 \times 8}

Situation problème : La consommation d’électricité

Une famille relève sa consommation d’électricité $y$ (en kWh) selon le nombre $x$ d’appareils branchés : $x$ : 2, 4, 5, 7, 8, 10 ; $y$ : 110, 150, 170, 210, 235, 275.
L’ajustement linéaire est-il pertinent ? Quelle consommation prévoir avec 12 appareils ?

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Activité d’apprentissage

On calcule les paramètres de la série.

Calcule $\bar{x}$ , $\bar{y}$ , $V (X)$ , $V (Y)$ et $cov (X, Y)$ .
Calcule le coefficient de corrélation $r$ . Que peut-on en dire ?
Détermine la droite de régression de $y$ en $x$ .
Réponds à la situation problème.

Droites de régression

Droite de régression de

y

x

y = a x + b

a = \frac{cov (X, Y)}{V (X)}

b = \bar{y} - a \bar{x}

. Droite de régression de

x

y

x = a^{'} y + b^{'}

a^{'} = \frac{cov (X, Y)}{V (Y)}

. Les deux droites passent par

G

Exemple à traiter : Détermine les deux droites de régression de la série :

x

: 1, 2, 3, 4 ;

y

: 2, 3, 5, 6.

R2 · Coefficient de corrélation

r = \frac{cov (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

, avec

- 1 \leq r \leq 1

r^{2} = a a^{'}

. Plus

| r |

est proche de 1, meilleur est l’ajustement ; on le juge en général satisfaisant si

| r | \geq 0, 87

Exemple à traiter : Calcule

r

pour la série de R1 et interprète.

Prévisions et changement de variable

On utilise la droite de régression pour estimer

y

pour une valeur de

x

. Si le nuage n’est pas allongé mais l’est après transformation (par exemple

z = \ln y

), on ajuste

z

en fonction de

x

puis on revient à

y

Exemple à traiter : Pour

x

: 0, 1, 2, 3, 4 et

y

: 3, 6, 12, 25, 49, pose

z = \ln y

, ajuste

z

x

et déduis-en une expression de

y

en fonction de

x

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Erreurs fréquentes

⚠ Inverser les droites

Pour estimer

y

à partir de

x

, on utilise la droite de

y

x

⚠ Corrélation et causalité

Un \(

Exercice d’application

La population d’une ville (en milliers) de 2018 à 2023 : 120, 126, 131, 138, 143, 149. Ajuste par la méthode des moindres carrés (rang $x$ de 1 à 6) et estime la population en 2027.
Démontre que $r^{2} = a a^{'}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

a = \frac{cov}{V (X)}

b = \bar{y} - a \bar{x}

r = \frac{cov}{σ_{X} σ_{Y}}

| r | \geq 0, 87

: bon ajustement. Changement de variable

z = \ln y

si besoin.