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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Statistiques à deux variables · Leçon 1

Tableaux à double entrée et nuage de points

Tableaux, séries marginales, nuage, point moyen, covariance.

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Cours de Mathématiques : « Tableaux à double entrée et nuage de points », proposé par ndolomathndolomath

Séries doubles

💡 Idée principale : Une série statistique double étudie deux caractères

X

Y

sur une même population. Ses données se présentent en liste ou dans un tableau à double entrée (effectifs

n_{i j}

), dont on tire les séries marginales. On la représente par un nuage de points et on calcule le point moyen et la covariance.

Ce que tu vas apprendre

Lire et compléter un tableau à double entrée ; déterminer les séries marginales.
Construire un nuage de points et placer le point moyen.
Calculer les variances marginales et la covariance.

Pourquoi cette leçon ?

Le poids d’un enfant dépend-il de son âge ? Le rendement d’un champ de la quantité d’engrais ? Pour étudier le lien entre deux grandeurs, on les observe ensemble.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la moyenne et la variance de 2, 4, 6, 8.

Calcule

\frac{1}{4} (2 \times 3 + 4 \times 5 + 6 \times 6 + 8 \times 9)

Place les points

(2; 3)

(4; 5)

(6; 6)

(8; 9)

Situation problème : Les notes et le temps de travail

Un professeur interroge 20 élèves sur leur temps de travail hebdomadaire $X$ (en heures : 2, 4, 6) et relève leur note $Y$ (en classes : 8, 12, 16). Il obtient le tableau des effectifs : pour $X = 2$ : 4, 2, 0 ; pour $X = 4$ : 2, 5, 2 ; pour $X = 6$ : 0, 2, 3 (notes 8, 12, 16 respectivement).
Comment résumer ces données ? Le temps de travail et la note varient-ils dans le même sens ?

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Activité d’apprentissage

On exploite le tableau à double entrée.

Détermine les séries marginales de $X$ et de $Y$ .
Calcule $\bar{x}$ , $\bar{y}$ , $V (X)$ et $V (Y)$ .
Calcule la covariance $cov (X, Y) = \frac{1}{N} \sum n_{i j} x_{i} y_{j} - \bar{x} \bar{y}$ .
Réponds à la situation problème.

Tableau et séries marginales

Dans un tableau à double entrée,

n_{i j}

est l’effectif du couple

(x_{i}; y_{j})

. La série marginale de

X

s’obtient en sommant les effectifs de chaque ligne, celle de

Y

en sommant chaque colonne.

Exemple à traiter : Complète les effectifs marginaux du tableau de la situation et calcule l’effectif total.

R2 · Nuage et point moyen

Le nuage de points est l’ensemble des points

M_{i} (x_{i}; y_{i})

(éventuellement pondérés). Son point moyen est

G (\bar{x}; \bar{y})

Exemple à traiter : Construis le nuage de la série :

x

: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;

y

: 12, 15, 19, 20, 24, 27 et place

G

Variance et covariance

V (X) = \frac{1}{N} \sum n_{i} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}

σ_{X} = \sqrt{V (X)}

;

cov (X, Y) = \frac{1}{N} \sum n_{i j} x_{i} y_{j} - \bar{x} \bar{y}

. Une covariance positive indique que

X

Y

ont tendance à varier dans le même sens.

Exemple à traiter : Calcule la covariance de la série de R2.

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Erreurs fréquentes

⚠ Effectifs des couples

Dans le calcul de la covariance, chaque produit

x_{i} y_{j}

est pondéré par

n_{i j}

⚠ Séries marginales

Les effectifs marginaux sont les totaux des lignes et des colonnes.

Exercice d’application

Pour la série $x$ : 10, 20, 30, 40 ; $y$ : 52, 47, 41, 36, calcule le point moyen et la covariance. Interprète son signe.
Montre que $cov (X, X) = V (X)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Séries marginales : totaux des lignes et colonnes.

G (\bar{x}; \bar{y})

cov = \frac{1}{N} \sum n_{i j} x_{i} y_{j} - \bar{x} \bar{y}