Cours
MATHÉMATIQUES · Tle C-E
Chapitre : Produit vectoriel · Leçon 1

Orientation de l’espace et produit vectoriel

Bases directes et définition du produit vectoriel.
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Cours de Mathématiques : « Orientation de l’espace et produit vectoriel », proposé par ndolomathndolomath
Produit vectoriel
💡 Idée principale : On oriente l’espace grâce à la règle du « bonhomme d’Ampère » ou des trois doigts de la main droite : une base (i→,j→,k→) est directe ou indirecte. Le produit vectoriel u→∧v→ est le vecteur orthogonal à u→ et v→, de norme ‖u→‖‖v→‖|sin⁡θ|, tel que (u→,v→,u→∧v→) soit directe.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître une base directe ou indirecte de l’espace.
  2. Connaître la définition géométrique du produit vectoriel.
  3. Calculer le produit vectoriel dans une base orthonormée directe.
Pourquoi cette leçon ?
En physique, le moment d’une force, la force de Laplace sur un fil parcouru par un courant ou la force de Coriolis s’expriment par des produits vectoriels. Il faut donc savoir orienter l’espace et calculer ce produit.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule u→⋅v→ pour u→(1;2;−1) et v→(3;0;1).
2
Calcule sin⁡π6 et sin⁡π2.
3
Calcule le déterminant |2134|.
Situation problème : Le moment de la clé

Un mécanicien serre un boulon avec une clé de 30 cm en exerçant une force de 50 N. L’efficacité du serrage dépend de l’angle entre la clé et la force, et l’axe de rotation du boulon est perpendiculaire à la clé et à la force.
Comment représenter mathématiquement l’effet de rotation (direction de l’axe, sens et intensité) ?

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Activité d’apprentissage

On représente la clé par u→ et la force par F→, dans un repère orthonormé direct.

  1. Avec u→=0,3i→ et F→=50j→, quelle direction l’axe de rotation doit-il avoir ?
  2. Si la force fait un angle θ avec la clé, quelle partie de la force fait tourner le boulon ?
  3. Propose un vecteur dont la direction, le sens et la norme décrivent l’effet de rotation.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Orientation
Une base (i→,j→,k→) est directe si, un observateur placé le long de k→ (pieds à l’origine), regardant dans la direction de i→, voit j→ à sa gauche. Échanger deux vecteurs ou en changer un en son opposé change l’orientation.
Exemple à traiter : (i→,j→,k→) est directe. Les bases (j→,i→,k→), (j→,k→,i→) et (i→,j→,−k→) sont-elles directes ?
R2 · Définition géométrique
Si u→ et v→ sont colinéaires, u→∧v→=0→. Sinon, w→=u→∧v→ est orthogonal à u→ et v→, (u→,v→,w→) est directe et ‖w→‖=‖u→‖‖v→‖sin⁡(u→,v→^).
Exemple à traiter : Dans une base orthonormée directe, calcule i→∧j→, j→∧k→, k→∧i→ et j→∧i→.
R3
Expression analytique
Dans une base orthonormée directe, si u→(x;y;z) et v→(x′;y′;z′) : u→∧v→(yz′−zy′;zx′−xz′;xy′−yx′).
Exemple à traiter : Calcule u→∧v→ pour u→(1;2;−1) et v→(3;0;1), et vérifie qu’il est orthogonal à u→ et v→.
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Erreurs fréquentes
⚠ Ordre
u→∧v→=−v→∧u→ : l’ordre compte.
⚠ Sinus
La norme fait intervenir le sinus de l’angle, pas le cosinus.
Exercice d’application
  1. Calcule (i→+j→)∧(j→−2k→).
  2. Dans le cube ABCDEFGH d’arête 1, muni du repère (A;AB→,AD→,AE→), calcule AB→∧AG→.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
u→∧v→ : orthogonal à u→, v→, base directe, norme ‖u→‖‖v→‖sin⁡θ. Coordonnées : (yz′−zy′;zx′−xz′;xy′−yx′).
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