Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Probabilités · Leçon 3

Probabilités conditionnelles

Probabilité sachant, arbres, indépendance, formule des probabilités totales.

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Cours de Mathématiques : « Probabilités conditionnelles », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : La probabilité de

B

sachant

A

est

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

. Elle se lit sur les branches d’un arbre pondéré. La formule des probabilités totales et la formule de Bayes permettent de « remonter » d’un effet à une cause.

A

B

sont indépendants si

P (A \cap B) = P (A) P (B)

Ce que tu vas apprendre

Calculer une probabilité conditionnelle.
Construire et utiliser un arbre pondéré.
Utiliser la formule des probabilités totales et la formule de Bayes.
Reconnaître des événements indépendants.

Pourquoi cette leçon ?

Un test médical positif signifie-t-il qu’on est malade ? La réponse dépend de la fréquence de la maladie et de la fiabilité du test : c’est un problème de probabilités conditionnelles.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

0, 3 \times 0, 8 + 0, 7 \times 0, 1

Calcule

\frac{0, 24}{0, 31}

Dessine un arbre pour deux lancers de pièce.

Situation problème : Le test de dépistage

Dans une région, 2 % de la population est atteinte d’une maladie. Un test est positif chez 95 % des malades et chez 3 % des personnes saines. Une personne est testée positive.
Quelle est la probabilité qu’elle soit réellement malade ?

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Activité d’apprentissage

On note $M$ « la personne est malade » et $T$ « le test est positif ».

Construis l’arbre pondéré de la situation.
Calcule $P (M \cap T)$ et $P (\bar{M} \cap T)$ .
Calcule $P (T)$ , puis $P_{T} (M)$ .
Réponds à la situation problème.

Probabilité conditionnelle

P (A) \neq 0

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

. Donc

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

(formule des probabilités composées).

Exemple à traiter : Dans une classe, 60 % des élèves sont des filles ; 30 % des filles et 20 % des garçons portent des lunettes. On choisit un élève qui porte des lunettes : probabilité que ce soit une fille ?

R2 · Probabilités totales et Bayes

(A_{1}, \dots, A_{n})

est une partition de

Ω

P (B) = \sum_{i} P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)

. Formule de Bayes :

P_{B} (A_{k}) = \frac{P (A_{k}) P_{A_{k}} (B)}{P (B)}

Exemple à traiter : Trois machines produisent 50 %, 30 %, 20 % des pièces, avec 2 %, 3 %, 5 % de défauts. Calcule la probabilité qu’une pièce soit défectueuse, puis qu’une pièce défectueuse vienne de la machine 3.

Indépendance

A

B

sont indépendants si

P (A \cap B) = P (A) P (B)

, c’est-à-dire

P_{A} (B) = P (B)

P (A) \neq 0

. Si

A

B

sont indépendants,

\bar{A}

B

le sont aussi.

Exemple à traiter : On lance un dé.

A

: « pair » ;

B

: « multiple de 3 ».

A

B

sont-ils indépendants ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Confondre P_A(B) et P_B(A)

Ce sont en général des nombres différents.

⚠ Indépendant et incompatible

Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Exercice d’application

Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire une boule, on la remet avec une autre de la même couleur, puis on tire une seconde boule. Calcule la probabilité que la seconde soit rouge.
Montre que si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\bar{A}$ et $\bar{B}$ le sont.
Réponds à la situation problème.

À retenir

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

. Probabilités totales :

P (B) = \sum P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)

. Indépendance :

P (A \cap B) = P (A) P (B)