Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Nombres complexes · Leçon 4

Équations de degré 2 et 3 dans ℂ

Racines carrées et équations polynomiales.

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Cours de Mathématiques : « Équations de degré 2 et 3 dans ℂ », proposé par ndolomathndolomath

Équations dans ℂ

💡 Idée principale : Dans

C

, tout complexe non nul a deux racines carrées opposées, et toute équation du second degré

a z^{2} + b z + c = 0

a des solutions :

z = \frac{- b \pm δ}{2 a}

, où

δ^{2} = Δ

. Pour une équation de degré 3, on cherche une racine particulière puis on factorise.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer les racines carrées d’un nombre complexe sous forme algébrique.
Résoudre une équation du second degré à coefficients réels ou complexes.
Résoudre une équation de degré 3 connaissant une racine.

Pourquoi cette leçon ?

Dans

R

, l’équation

x^{2} + 1 = 0

n’a pas de solution. Dans

C

, toutes les équations polynomiales ont des solutions : c’est ce qui rend les complexes si puissants.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

x^{2} - 4 x + 3 = 0

dans

R

Calcule

(2 + 3 i)^{2}

Vérifie que 1 est racine de

x^{3} - 3 x + 2

Situation problème : L’équation sans solution réelle

L’équation $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ n’a pas de solution réelle car son discriminant est négatif.
A-t-elle des solutions dans $C$ ? Lesquelles ?

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Activité d’apprentissage

On cherche un complexe $δ$ tel que $δ^{2} = Δ$ .

Calcule $Δ$ .
Trouve un complexe $δ$ tel que $δ^{2} = Δ$ .
Calcule $\frac{2 + δ}{2}$ et $\frac{2 - δ}{2}$ et vérifie qu’ils sont solutions.
Réponds à la situation problème.

Racines carrées

Pour trouver

δ = x + i y

tel que

δ^{2} = a + i b

, on résout le système

x^{2} - y^{2} = a

2 x y = b

x^{2} + y^{2} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Exemple à traiter : Détermine les racines carrées de

- 9

, de

3 + 4 i

et de

- 5 + 12 i

R2 · Équation du second degré

Pour

a z^{2} + b z + c = 0

(

a \neq 0

), on calcule

Δ = b^{2} - 4 a c

et une racine carrée

δ

Δ

; les solutions sont

z = \frac{- b \pm δ}{2 a}

. Si les coefficients sont réels et

Δ < 0

, les solutions sont conjuguées :

\frac{- b \pm i \sqrt{- Δ}}{2 a}

Exemple à traiter : Résous

z^{2} + 2 z + 4 = 0

z^{2} - (3 + i) z + 2 + 2 i = 0

Équation de degré 3

z_{0}

est racine de

P (z)

de degré 3, alors

P (z) = (z - z_{0}) Q (z)

, avec

Q

de degré 2, obtenu par identification ou division.

Exemple à traiter : Montre que

2 i

est racine de

P (z) = z^{3} - (1 + 2 i) z^{2} + (4 + 2 i) z - 8 i

, puis résous

P (z) = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Racine de Δ

On n’écrit pas

\sqrt{Δ}

Δ

est complexe : on cherche

δ

⚠ Vérifier la racine

On vérifie que

z_{0}

annule

P

avant de factoriser.

Exercice d’application

Résous dans $C$ : $z^{2} + 9 = 0$ et $z^{4} - 1 = 0$ .
Résous $z^{3} + 8 = 0$ en remarquant une racine réelle.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Racine carrée de

a + i b

: système

x^{2} - y^{2} = a

2 x y = b

x^{2} + y^{2} = | a + i b |

z = \frac{- b \pm δ}{2 a}

. Degré 3 : racine évidente puis factorisation.