Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Nombres complexes · Leçon 3

Module d’un nombre complexe

Définition et propriétés du module.

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Cours de Mathématiques : « Module d’un nombre complexe », proposé par ndolomathndolomath

Module

💡 Idée principale : Le module de

z = a + i b

est

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{z \bar{z}}

. Il généralise la valeur absolue et vérifie

| z z^{'} | = | z | | z^{'} |

| \frac{z}{z^{'}} | = \frac{| z |}{| z^{'} |}

et l’inégalité triangulaire

| z + z^{'} | \leq | z | + | z^{'} |

. Géométriquement, c’est une distance.

Ce que tu vas apprendre

Calculer le module d’un complexe.
Utiliser les propriétés du module (produit, quotient, puissance).
Utiliser l’inégalité triangulaire.

Pourquoi cette leçon ?

En électricité, l’intensité efficace d’un courant alternatif est le module d’un nombre complexe ; en géométrie, la distance entre deux points est le module d’une différence.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\sqrt{3^{2} + 4^{2}}

Calcule

z \bar{z}

pour

z = 1 - 2 i

Calcule

| - 5 |

Situation problème : Le module d’une grande puissance

Un élève doit calculer le module de $Z = \frac{(1 + i)^{10}}{(\sqrt{3} - i)^{4}}$ . Il pense devoir développer les puissances, ce qui est très long.
Existe-t-il une méthode rapide ?

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Activité d’apprentissage

On utilise les propriétés du module.

Calcule $| 1 + i |$ et $| \sqrt{3} - i |$ .
Vérifie sur un exemple que $| z z^{'} | = | z | | z^{'} |$ .
Déduis-en $| (1 + i)^{10} |$ , $| (\sqrt{3} - i)^{4} |$ puis $| Z |$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{z \bar{z}}

| z | = 0 ⟺ z = 0

| \bar{z} | = | - z | = | z |

. Si

z

est réel,

| z |

est sa valeur absolue.

Exemple à traiter : Calcule le module de

3 - 4 i

- 2 i

\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

R2 · Propriétés

| z z^{'} | = | z | | z^{'} |

;

| z^{n} | = | z |^{n}

;

| \frac{1}{z} | = \frac{1}{| z |}

;

| \frac{z}{z^{'}} | = \frac{| z |}{| z^{'} |}

(

z^{'} \neq 0

Exemple à traiter : Calcule le module de

\frac{(2 - i)^{3}}{(1 + 2 i)^{2}}

Inégalité triangulaire

Pour tous complexes

z

z^{'}

| z + z^{'} | \leq | z | + | z^{'} |

, avec égalité si

z

z^{'}

sont « de même direction ».

Exemple à traiter : Montre que pour tout

z

tel que

| z | \leq 1

| z^{2} + 2 z + 3 | \leq 6

Erreurs fréquentes

⚠ Module d’une somme

En général \(

⚠ Oublier la racine

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Exercice d’application

Détermine les complexes $z$ tels que $| z | = | z - 2 |$ et $Im (z) = 1$ .
Montre que si $| z | = 1$ , alors $| \frac{1 + z}{1 + \bar{z}} | = 1$ ( $z \neq - 1$ ).
Réponds à la situation problème.

À retenir

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{z \bar{z}}

| z z^{'} | = | z | | z^{'} |

| z^{n} | = | z |^{n}

| z + z^{'} | \leq | z | + | z^{'} |