Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Nombres complexes · Leçon 2

Nombres complexes conjugués

Définition et propriétés du conjugué.

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Cours de Mathématiques : « Nombres complexes conjugués », proposé par ndolomathndolomath

Conjugué

💡 Idée principale : Le conjugué de

z = a + i b

est

\bar{z} = a - i b

. Il est compatible avec les opérations :

\overset{―}{z + z^{'}} = \bar{z} + \bar{z^{'}}

\overset{―}{z z^{'}} = \bar{z} \bar{z^{'}}

. On a

z \bar{z} = a^{2} + b^{2}

z + \bar{z} = 2 Re (z)

z - \bar{z} = 2 i Im (z)

: le conjugué sert à caractériser les réels et les imaginaires purs.

Ce que tu vas apprendre

Calculer le conjugué d’un complexe.
Utiliser les propriétés du conjugué (somme, produit, quotient, puissance).
Caractériser un réel ( $\bar{z} = z$ ) et un imaginaire pur ( $\bar{z} = - z$ ).

Pourquoi cette leçon ?

Pour rendre réel un dénominateur ou pour savoir si une expression complexe est réelle, le conjugué est l’outil clé, comme la quantité conjuguée pour les racines carrées.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

(3 + 2 i) (3 - 2 i)

Calcule

(\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)

Écris

\frac{1 + i}{1 - i}

sous forme algébrique.

Situation problème : L’expression réelle

Un professeur affirme que pour tout complexe $z$ , le nombre $Z = z^{2} + {\bar{z}}^{2}$ est réel, et que $W = z^{2} - {\bar{z}}^{2}$ est imaginaire pur.
Comment le prouver sans écrire $z = a + i b$ ?

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Activité d’apprentissage

On utilise les propriétés du conjugué.

Calcule $\bar{Z}$ en utilisant $\overset{―}{z^{2}} = {\bar{z}}^{2}$ et $\bar{\bar{z}} = z$ .
Compare $\bar{Z}$ et $Z$ .
Calcule $\bar{W}$ et compare avec $W$ .
Réponds à la situation problème.

Définition et premières propriétés

\overset{―}{a + i b} = a - i b

;

\bar{\bar{z}} = z

;

z + \bar{z} = 2 Re (z)

;

z - \bar{z} = 2 i Im (z)

;

z \bar{z} = a^{2} + b^{2} \geq 0

Exemple à traiter : Calcule

z + \bar{z}

z - \bar{z}

z \bar{z}

pour

z = 4 - 3 i

R2 · Conjugué et opérations

\overset{―}{z + z^{'}} = \bar{z} + \bar{z^{'}}

;

\overset{―}{z z^{'}} = \bar{z} \bar{z^{'}}

;

\overset{―}{z^{n}} = {\bar{z}}^{n}

;

\overset{―}{(\frac{z}{z^{'}})} = \frac{\bar{z}}{\bar{z^{'}}}

(

z^{'} \neq 0

Exemple à traiter : Détermine le conjugué de

Z = \frac{(2 + i)^{3}}{1 - 3 i}

sans calculer

Z

Réels et imaginaires purs

z

est réel

⟺ \bar{z} = z

;

z

est imaginaire pur

⟺ \bar{z} = - z

Exemple à traiter : Soit

z \neq 1

. Montre que

Z = \frac{z + 1}{z - 1}

est imaginaire pur lorsque

z \bar{z} = 1

Erreurs fréquentes

⚠ Conjugué de i

\bar{i} = - i

⚠ Conjugué d’une somme

On conjugue chaque terme :

\overset{―}{2 + 3 i} = 2 - 3 i

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Exercice d’application

Résous dans $C$ l’équation $2 z + i \bar{z} = 3 - i$ .
Détermine l’ensemble des complexes $z$ tels que $z^{2}$ soit réel.
Réponds à la situation problème.

À retenir

\bar{z} = a - i b

z \bar{z} = a^{2} + b^{2}

. Conjugué compatible avec

+

\times

\div

. Réel :

\bar{z} = z

; imaginaire pur :

\bar{z} = - z