Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Nombres complexes · Leçon 1

Écriture algébrique, calculs dans ℂ

Le nombre i et les calculs dans ℂ.

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Cours de Mathématiques : « Écriture algébrique, calculs dans ℂ », proposé par ndolomathndolomath

Forme algébrique

💡 Idée principale : L’ensemble

C

des nombres complexes contient

R

et un nombre

i

tel que

i^{2} = - 1

. Tout complexe s’écrit de manière unique

z = a + i b

(forme algébrique), avec

a = Re (z)

b = Im (z)

réels. On y calcule comme dans

R

en remplaçant

i^{2}

par

- 1

Ce que tu vas apprendre

Connaître la forme algébrique, la partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe.
Effectuer des sommes, produits et puissances dans $C$ .
Calculer l’inverse et le quotient de complexes sous forme algébrique.

Pourquoi cette leçon ?

Au XVIe siècle, des mathématiciens italiens ont dû calculer avec des « racines de nombres négatifs » pour résoudre des équations de degré 3. Aujourd’hui, les complexes sont indispensables en électricité, en traitement du signal et en géométrie.

Prérequis : vérifie tes bases

Développe

(2 + 3 x) (1 - x)

Résous

x^{2} + 1 = 0

dans

R

Calcule

(a + b) (a - b)

Situation problème : La formule de Cardan

Pour résoudre $x^{3} = 15 x + 4$ , la méthode de Cardan conduit à écrire la solution $x = \sqrt[3]{2 + 11 \sqrt{- 1}} + \sqrt[3]{2 - 11 \sqrt{- 1}}$ . Les mathématiciens de l’époque étaient perplexes, car $x = 4$ est visiblement solution.
Comment donner un sens à ce calcul ?

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Activité d’apprentissage

On calcule avec un nombre $i$ tel que $i^{2} = - 1$ .

Calcule $(2 + i)^{2}$ , puis $(2 + i)^{3}$ .
Calcule de même $(2 - i)^{3}$ .
Déduis-en une valeur de $\sqrt[3]{2 + 11 i} + \sqrt[3]{2 - 11 i}$ .
Réponds à la situation problème.

Forme algébrique

Tout complexe s’écrit de manière unique

z = a + i b

a, b \in R

z

est réel si

b = 0

, imaginaire pur si

a = 0

a + i b = a^{'} + i b^{'} ⟺ a = a^{'}

b = b^{'}

Exemple à traiter : Détermine les réels

x

y

tels que

(x + 2) + i (3 y - 1) = 5 - 4 i

R2 · Opérations

(a + i b) + (a^{'} + i b^{'}) = (a + a^{'}) + i (b + b^{'})

;

(a + i b) (a^{'} + i b^{'}) = (a a^{'} - b b^{'}) + i (a b^{'} + a^{'} b)

. Les puissances de

i

se répètent :

i^{2} = - 1

i^{3} = - i

i^{4} = 1

Exemple à traiter : Calcule

(3 - 2 i) (1 + 4 i)

(1 + i)^{4}

i^{2026}

Inverse et quotient

Pour

z = a + i b \neq 0

\frac{1}{z} = \frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}}

. Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple à traiter : Écris sous forme algébrique

\frac{1}{2 - i}

\frac{3 + i}{1 + 2 i}

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Erreurs fréquentes

⚠ i² = 1

i^{2} = - 1

, pas 1.

⚠ Parties réelles

La partie imaginaire de

3 - 2 i

est

- 2

, pas

- 2 i

Exercice d’application

Résous dans $C$ l’équation $(2 + i) z = 3 - i$ .
Détermine $x$ réel pour que $(x + i)^{2}$ soit imaginaire pur.
Réponds à la situation problème.

À retenir

z = a + i b

i^{2} = - 1

. Calculer comme dans

R

. Quotient : multiplier par le conjugué du dénominateur.