Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Isométries de l’espace · Leçon 2

Demi-tour

Symétrie orthogonale par rapport à une droite.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Demi-tour », proposé par ndolomathndolomath

Demi-tour

💡 Idée principale : Le demi-tour d’axe

(Δ)

(ou symétrie orthogonale d’axe

(Δ)

) associe à

M

le point

M^{'}

tel que

(Δ)

soit la médiatrice de

[M M^{'}]

dans le plan

(M, Δ)

: c’est la rotation d’angle

π

autour de

(Δ)

. C’est la composée de deux réflexions de plans perpendiculaires se coupant suivant

(Δ)

Ce que tu vas apprendre

Construire l’image d’un point par un demi-tour.
Déterminer l’expression analytique d’un demi-tour d’axe donné.
Décomposer un demi-tour en deux réflexions et composer des demi-tours.

Pourquoi cette leçon ?

Faire pivoter un objet d’un demi-tour autour d’une tige, comme une porte retournée ou une broche de rôtisserie, c’est appliquer un demi-tour de l’espace.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne l’image de

M (x; y; z)

par la symétrie de centre

O

Calcule le projeté orthogonal de

M (1; 2; 3)

sur l’axe

(O z)

Rappelle la composée de deux réflexions de plans sécants.

Situation problème : Le pivot de la grue

Une grue fait pivoter une charge d’un demi-tour autour de l’axe vertical $(O z)$ . La charge est au point $A (3; 4; 10)$ .
Où se trouve-t-elle après le pivot ? Peut-on obtenir le même mouvement avec deux miroirs ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Demi-tour », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On étudie le demi-tour $d$ d’axe $(O z)$ .

Détermine le projeté $H$ de $A$ sur $(O z)$ et l’image $A^{'}$ telle que $H$ soit le milieu de $[A A^{'}]$ .
Écris l’expression analytique de $d$ .
Compare $d$ avec la composée des réflexions de plans $x = 0$ et $y = 0$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

Le demi-tour

d_{Δ}

d’axe

(Δ)

M^{'} = d_{Δ} (M)

si le projeté orthogonal

H

M

sur

(Δ)

est le milieu de

[M M^{'}]

d_{Δ} \circ d_{Δ} = Id

; ses points invariants sont ceux de

(Δ)

Exemple à traiter : Dans le cube

A B C D E F G H

de centre

O

, détermine l’image de

A

par le demi-tour d’axe passant par

O

et les milieux de

[A B]

[G H]

R2 · Expression analytique

Demi-tour d’axe

(O z)

x^{'} = - x

y^{'} = - y

z^{'} = z

. Pour un axe passant par

A

et dirigé par

\vec{u}

M^{'} = 2 H - M

, où

H

est le projeté orthogonal de

M

sur l’axe.

Exemple à traiter : Donne l’expression analytique du demi-tour d’axe la droite

x = t, y = t, z = 0

Décomposition

d_{Δ} = s_{Q} \circ s_{P}

pour tous plans

(P)

(Q)

perpendiculaires se coupant suivant

(Δ)

. La composée de deux demi-tours d’axes parallèles est une translation ; d’axes perpendiculaires sécants, un demi-tour.

Exemple à traiter : Détermine la composée des demi-tours d’axes

(O x)

(O y)

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Demi-tour », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Demi-tour et symétrie centrale

Le demi-tour fixe une droite, la symétrie centrale un seul point.

⚠ Plans perpendiculaires

La décomposition demande des plans perpendiculaires.

Exercice d’application

Montre que la composée de trois demi-tours d’axes $(O x)$ , $(O y)$ , $(O z)$ est l’identité.
Détermine l’image du plan $x + y + z = 1$ par le demi-tour d’axe $(O z)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Demi-tour d’axe

(Δ)

H

projeté, milieu de

[M M^{'}]

; rotation d’angle

π

= s_{Q} \circ s_{P}

avec plans perpendiculaires suivant

(Δ)