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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Isométries de l’espace · Leçon 1

Réflexions de l’espace

Symétries par rapport à un plan.

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Cours de Mathématiques : « Réflexions de l’espace », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : La réflexion de plan

(P)

associe à tout point

M

le point

M^{'}

tel que

(P)

soit le plan médiateur de

[M M^{'}]

(et

M^{'} = M

M \in (P)

). C’est une isométrie de l’espace, involutive, dont les points invariants sont ceux de

(P)

. La composée de deux réflexions de plans parallèles est une translation ; de plans sécants, une rotation autour de la droite d’intersection.

Ce que tu vas apprendre

Construire l’image d’un point, d’une figure par une réflexion de l’espace.
Déterminer l’expression analytique d’une réflexion dans un repère orthonormé.
Déterminer la composée de deux réflexions (plans parallèles ou sécants).

Pourquoi cette leçon ?

Un miroir plan réalise une réflexion de l’espace ; deux miroirs face à face créent des images à l’infini, et deux miroirs en angle produisent des images tournées. Les réflexions décrivent ces phénomènes.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne la définition du plan médiateur d’un segment.

Écris l’équation du plan médiateur de

[A B]

avec

A (1; 0; 0)

B (3; 0; 0)

Rappelle la composée de deux réflexions d’axes sécants dans le plan.

Situation problème : Le miroir de la chambre

Dans une chambre modélisée par un repère orthonormé, un miroir occupe le plan $(P) : x + y + z = 3$ . Une lampe est au point $L (1; 2; 3)$ .
Où se trouve l’image de la lampe dans le miroir ?

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Activité d’apprentissage

On cherche l’image $L^{'}$ de $L$ par la réflexion de plan $(P)$ .

Écris une représentation paramétrique de la droite passant par $L$ et orthogonale à $(P)$ .
Détermine le projeté orthogonal $H$ de $L$ sur $(P)$ .
Déduis-en $L^{'}$ tel que $H$ soit le milieu de $[L L^{'}]$ .
Réponds à la situation problème.

Définition et propriétés

La réflexion

s_{P}

de plan

(P)

M^{'} = s_{P} (M)

(P)

est le plan médiateur de

[M M^{'}]

(

M \notin P

s_{P} \circ s_{P} = Id

;

s_{P}

conserve les distances, les angles géométriques, le parallélisme et l’orthogonalité ; ses points invariants forment

(P)

Exemple à traiter : Dans le cube

A B C D E F G H

, détermine l’image du cube par la réflexion de plan

(A C G)

R2 · Expression analytique

Pour

(P) : a x + b y + c z + d = 0

\vec{n} (a; b; c)

M^{'} = s_{P} (M)

vérifie

\vec{M M^{'}} = - 2 \frac{a x + b y + c z + d}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \vec{n}

Exemple à traiter : Donne l’expression analytique de la réflexion de plan

z = 0

, puis de plan

x - y = 0

Composée de deux réflexions

(P) ∥ (Q)

s_{Q} \circ s_{P}

est la translation de vecteur

2 \vec{H K}

, où

H \in (P)

K \in (Q)

\vec{H K}

orthogonal aux plans. Si

(P)

(Q)

se coupent suivant

(Δ)

s_{Q} \circ s_{P}

est une rotation d’axe

(Δ)

dont l’angle est le double de l’angle des plans.

Exemple à traiter : Détermine la composée des réflexions de plans

z = 0

z = 2

, puis de plans

x = 0

y = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Point du plan

Un point de

(P)

est sa propre image.

⚠ Ordre

s_{Q} \circ s_{P}

s_{P} \circ s_{Q}

sont réciproques l’une de l’autre.

Exercice d’application

Détermine l’image de la droite $(D) : x = t, y = 1 + t, z = 2$ par la réflexion de plan $x = y$ .
Montre qu’une isométrie de l’espace qui fixe quatre points non coplanaires est l’identité.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Réflexion :

(P)

plan médiateur de

[M M^{'}]

, involutive. Plans parallèles → translation ; plans sécants → rotation d’axe l’intersection.