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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Fonctions numériques d’une variable réelle · Leçon 5

Représentations graphiques des fonctions

Étude complète, branches infinies et courbes associées.

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Cours de Mathématiques : « Représentations graphiques des fonctions », proposé par ndolomathndolomath

Représentations graphiques

💡 Idée principale : L’étude complète d’une fonction comprend : ensemble de définition et réduction du domaine d’étude (parité, périodicité), continuité et dérivabilité, limites et branches infinies, variations, points remarquables (tangentes, points d’inflexion), position relative avec une asymptote, puis tracé. On en déduit les courbes de fonctions associées et des résolutions graphiques.

Ce que tu vas apprendre

Mener l’étude complète de fonctions rationnelles, irrationnelles et trigonométriques.
Déterminer les branches infinies et les asymptotes.
Étudier la convexité et les points d’inflexion à l’aide de la dérivée seconde.
Discuter graphiquement le nombre de solutions d’une équation à paramètre.

Pourquoi cette leçon ?

Tracer précisément une courbe, c’est disposer d’un outil visuel pour résoudre des équations, comparer des fonctions et interpréter des modèles physiques ou économiques.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive deux fois

f (x) = x^{3} - 3 x^{2}

Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}

Rappelle la condition pour que

Ω (a; b)

soit centre de symétrie.

Situation problème : Le profil du toboggan

Un parc aquatique conçoit un toboggan dont le profil est la courbe de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$ pour $x > 1$ (en mètres). L’ingénieur veut connaître le point le plus bas, le comportement du profil aux extrémités et savoir combien de fois une droite horizontale $y = m$ coupe le profil.

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Activité d’apprentissage

On mène l’étude de $f$ sur $] 1; + \infty [$ .

Écris $f (x) = x - 1 + \frac{1}{x - 1}$ et déduis-en les asymptotes.
Étudie les variations de $f$ et trouve son minimum.
Étudie la position de la courbe par rapport à l’asymptote oblique.
Discute graphiquement le nombre de solutions de $f (x) = m$ et réponds à la situation problème.

Branches infinies

\pm \infty

, si

f (x) \to \pm \infty

: étudier

\frac{f (x)}{x}

. Limite infinie : branche parabolique de direction

(O y)

; limite 0 : direction

(O x)

; limite

a \neq 0

: étudier

f (x) - a x

; limite

b

: asymptote

y = a x + b

; limite infinie : branche parabolique de direction

y = a x

Exemple à traiter : Détermine les branches infinies de

f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x}

+ \infty

et en

- \infty

R2 · Convexité et points d’inflexion

f^{″} \geq 0

sur

I

f

est convexe (courbe au-dessus de ses tangentes) ; si

f^{″} \leq 0

, concave. Si

f^{″}

s’annule en changeant de signe en

a

, le point d’abscisse

a

est un point d’inflexion : la courbe traverse sa tangente.

Exemple à traiter : Étudie la convexité de

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1

et détermine son point d’inflexion.

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Courbes associées et discussion

À partir de

C_{f}

, on obtient les courbes de

| f |

f (| x |)

- f

f (x - a) + b

. Le nombre de solutions de

f (x) = m

est le nombre de points communs de

C_{f}

et de la droite

y = m

Exemple à traiter : Étudie

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

, puis construis la courbe de

x \mapsto | \frac{x^{2}}{x - 1} |

et discute le nombre de solutions de

x^{2} = m (x - 1)

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier une étape

L’étude des branches infinies se fait à chaque borne infinie.

⚠ Point d’inflexion

Il faut un changement de signe de

f^{″}

, pas seulement

f^{″} (a) = 0

Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = x + \sqrt{x^{2} - 1}$ sur son ensemble de définition.
Étudie et représente $g (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ sur $[- π; π]$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Plan d’étude : domaine, symétries, limites et branches infinies, dérivée et variations,

f^{″}

et inflexion, positions, tracé.

f (x) = m

: intersections avec

y = m