Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Fonctions numériques d’une variable réelle · Leçon 4

Dérivabilité de f⁻¹ et inégalités des accroissements finis

Dériver une réciproque et majorer des écarts.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Dérivabilité de f⁻¹ et inégalités des accroissements finis », proposé par ndolomathndolomath

Dérivée de f⁻¹ et IAF

💡 Idée principale : Si

f

est dérivable et strictement monotone et si

f^{'} (f^{- 1} (y)) \neq 0

, alors

f^{- 1}

est dérivable en

y

(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (y))}

. L’inégalité des accroissements finis permet de majorer

| f (b) - f (a) |

à l’aide d’un majorant de

| f^{'} |

Ce que tu vas apprendre

Étudier la dérivabilité de la réciproque et calculer sa dérivée.
Dériver les fonctions $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ et $x \mapsto x^{r}$ ( $r$ rationnel).
Utiliser l’inégalité des accroissements finis pour établir des inégalités et des majorations d’erreur.

Pourquoi cette leçon ?

Pour connaître la précision d’un calcul approché, on doit savoir majorer l’écart entre deux valeurs d’une fonction : l’inégalité des accroissements finis le permet.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

f (x) = x^{3} + x

Rappelle que

| \sin a - \sin b |

se compare à

| a - b |

sur une figure.

Donne un majorant de

| \cos x |

Situation problème : L’erreur de calcul

Un élève remplace $\sqrt{101}$ par 10 et veut savoir quelle erreur il commet au maximum, sans calculatrice.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Dérivabilité de f⁻¹ et inégalités des accroissements finis », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On étudie $f (x) = \sqrt{x}$ sur $[100; 101]$ .

Calcule $f^{'} (x)$ et donne un majorant de $| f^{'} (x) |$ sur $[100; 101]$ .
Admettons que $| f (b) - f (a) | \leq M | b - a |$ quand $| f^{'} | \leq M$ . Applique à $a = 100$ , $b = 101$ .
Donne un majorant de l’erreur commise.
Réponds à la situation problème.

Dérivée de la réciproque

f

est dérivable et strictement monotone sur

I

, et si

f^{'} (x_{0}) \neq 0

, alors

f^{- 1}

est dérivable en

y_{0} = f (x_{0})

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f^{'} (x_{0})}

. Si

f^{'} (x_{0}) = 0

, la courbe de

f^{- 1}

a une tangente verticale en

y_{0}

Exemple à traiter :

f (x) = x^{3} + x

. Montre que

f

est bijective sur

R

et calcule

(f^{- 1})^{'} (2)

R2 · Racines n-ièmes

La fonction

x \mapsto \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

est la réciproque de

x \mapsto x^{n}

sur

[0; + \infty [

; elle est dérivable sur

] 0; + \infty [

(x^{r})^{'} = r x^{r - 1}

pour tout rationnel

r

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = \sqrt[3]{x^{2} + 1}

g (x) = x^{\frac{5}{2}}

Inégalité des accroissements finis

f

est dérivable sur

[a; b]

m \leq f^{'} (x) \leq M

, alors

m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)

. Si

| f^{'} (x) | \leq M

sur

I

, alors

| f (x) - f (y) | \leq M | x - y |

pour tous

x, y \in I

Exemple à traiter : Montre que pour tous réels

a, b

| \sin a - \sin b | \leq | a - b |

. Montre que pour

x \geq 0

\frac{x}{2 \sqrt{1 + x}} \leq \sqrt{1 + x} - 1 \leq \frac{x}{2}

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Dérivabilité de f⁻¹ et inégalités des accroissements finis », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Point où calculer f'

On calcule

f^{'}

x_{0} = f^{- 1} (y_{0})

, pas en

y_{0}

⚠ Majorant

On majore \(

Exercice d’application

Montre que pour tout $x \geq 0$ : $\sqrt[3]{1 + x} \leq 1 + \frac{x}{3}$ (utilise l’IAF sur $[0; x]$ ).
Soit $f (x) = \cos x$ et la suite $u_{n + 1} = \cos u_{n}$ . Montre que $| u_{n + 1} - α | \leq \sin (1) | u_{n} - α |$ où $α$ est la solution de $\cos x = x$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f^{'} (x_{0})}

(x^{r})^{'} = r x^{r - 1}

. IAF :

| f^{'} | \leq M

⇒

| f (b) - f (a) | \leq M | b - a |