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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Fonctions numériques d’une variable réelle · Leçon 3

Fonction continue et strictement monotone

Bijection et fonction réciproque.

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Cours de Mathématiques : « Fonction continue et strictement monotone », proposé par ndolomathndolomath

Continue et strictement monotone

💡 Idée principale : Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

I

réalise une bijection de

I

sur l’intervalle

f (I)

. Toute équation

f (x) = k

, avec

k \in f (I)

, y a alors une solution unique. La fonction réciproque

f^{- 1}

est continue, de même sens de variation, et sa courbe est symétrique de celle de

f

par rapport à la droite

y = x

Ce que tu vas apprendre

Utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (existence et unicité).
Montrer qu’une fonction réalise une bijection et déterminer l’intervalle image.
Connaître les propriétés de la réciproque et tracer sa courbe.
Encadrer une solution par dichotomie ou balayage.

Pourquoi cette leçon ?

Certaines équations comme

x^{3} + x = 1

\cos x = x

n’ont pas de solution exprimable simplement. On peut néanmoins prouver qu’elles ont une solution unique et l’approcher avec autant de précision que l’on veut.

Prérequis : vérifie tes bases

Étudie les variations de

x \mapsto x^{3} + x

Calcule

f (0, 6)

f (0, 7)

pour

f (x) = x^{3} + x - 1

Trace la courbe de

x \mapsto x^{2}

sur

[0; 2]

et sa symétrique par rapport à

y = x

Situation problème : Le dosage du médicament

Un laboratoire modélise la concentration d’un médicament dans le sang par une fonction $C (t) = \frac{10 t}{t^{2} + 1}$ (en mg/L) pour $t \in [0; 1]$ heure. Le médecin veut savoir à quel instant la concentration atteint exactement 4 mg/L et si cet instant est unique.

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Activité d’apprentissage

On étudie $C$ sur $[0; 1]$ .

Calcule $C^{'} (t)$ et montre que $C$ est strictement croissante sur $[0; 1]$ .
Calcule $C (0)$ et $C (1)$ . 4 appartient-il à l’intervalle image ?
Conclus sur l’existence et l’unicité de l’instant cherché, puis encadre-le à $10^{- 2}$ près.
Réponds à la situation problème.

Corollaire du TVI

f

est continue et strictement monotone sur

[a; b]

, alors pour tout

k

compris entre

f (a)

f (b)

, l’équation

f (x) = k

a une unique solution dans

[a; b]

. Ce résultat s’étend aux intervalles ouverts en utilisant les limites.

Exemple à traiter : Montre que

x^{3} + x - 1 = 0

a une unique solution

α

dans

R

et encadre

α

10^{- 2}

près.

R2 · Bijection

Une fonction continue et strictement monotone sur

I

réalise une bijection de

I

sur

J = f (I)

; l’intervalle

J

se lit dans le tableau de variation (limites ou valeurs aux bornes).

Exemple à traiter : Montre que

f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

réalise une bijection de

R

sur un intervalle à préciser.

Fonction réciproque

f^{- 1} : J \to I

est continue et strictement monotone de même sens que

f

. Dans un repère orthonormé, les courbes de

f

f^{- 1}

sont symétriques par rapport à la droite

y = x

Exemple à traiter : Détermine la réciproque de

f (x) = x^{2} + 1

sur

[0; + \infty [

et trace les deux courbes.

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Erreurs fréquentes

⚠ Monotonie stricte

Sans stricte monotonie, on n’a pas l’unicité.

⚠ Intervalle image

On le lit dans le tableau de variation, sans oublier les limites.

Exercice d’application

Montre que l’équation $\cos x = x$ a une unique solution dans $[0; \frac{π}{2}]$ .
Montre que $f (x) = x + \sqrt{x}$ réalise une bijection de $[0; + \infty [$ sur un intervalle $J$ , et calcule $f^{- 1} (2)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Continue + strictement monotone ⇒ bijection de

I

sur

f (I)

, solution unique de

f (x) = k

. Courbes de

f

f^{- 1}

symétriques par rapport à

y = x