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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Fonctions numériques d’une variable réelle · Leçon 2

Fonction continue sur un intervalle

Image d’un intervalle et théorème des valeurs intermédiaires.

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Cours de Mathématiques : « Fonction continue sur un intervalle », proposé par ndolomathndolomath

Continuité sur un intervalle

💡 Idée principale : Une fonction est continue sur un intervalle

I

si elle est continue en tout point de

I

. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle ; l’image d’un segment est un segment. Le théorème des valeurs intermédiaires en découle.

Ce que tu vas apprendre

Justifier la continuité d’une fonction sur un intervalle.
Déterminer l’image d’un intervalle par une fonction continue.
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Pourquoi cette leçon ?

Un randonneur qui monte d’une altitude de 500 m à 1 500 m passe forcément par 1 000 m. Plus subtil : sur un trajet aller-retour fait en deux jours, il existe une heure où il est au même endroit les deux jours. La continuité permet de le prouver.

Prérequis : vérifie tes bases

Étudie la continuité en 1 de

f (x) = x^{2}

x \leq 1

f (x) = 2 x - 1

x > 1

Donne l’image de

[0; 2]

par

x \mapsto x^{2}

Calcule

f (0)

f (1)

pour

f (x) = x^{3} + 2 x - 1

Situation problème : Le randonneur du mont Cameroun

Un randonneur monte au sommet du mont Cameroun le samedi, de 6 h à 18 h. Le dimanche, il redescend par le même sentier de 6 h à 18 h.
Existe-t-il un moment où il se trouve au même endroit du sentier à la même heure les deux jours ?

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Activité d’apprentissage

On note $m (t)$ et $d (t)$ les positions (altitudes) à l’heure $t$ le samedi et le dimanche.

Que valent $m (6)$ , $m (18)$ , $d (6)$ , $d (18)$ en fonction des altitudes du départ $A$ et du sommet $S$ ?
On pose $h (t) = m (t) - d (t)$ . Calcule $h (6)$ et $h (18)$ .
Pourquoi $h$ est-elle continue ? Conclus.
Réponds à la situation problème.

Fonctions continues

f

est continue sur

I

si elle est continue en tout point de

I

. Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, trigonométriques et leurs sommes, produits, quotients et composées sont continues sur les intervalles où elles sont définies.

Exemple à traiter : Détermine

a

pour que

f (x) = \frac{\sin x}{x}

x \neq 0

f (0) = a

, soit continue sur

R

R2 · Image d’un intervalle

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L’image d’un segment

[a; b]

est un segment

[m; M]

f

est bornée et atteint ses bornes.

Exemple à traiter : Détermine l’image de

[- 1; 2]

par

f (x) = x^{2} - 2 x

Théorème des valeurs intermédiaires

f

est continue sur

[a; b]

, tout réel

k

compris entre

f (a)

f (b)

a au moins un antécédent dans

[a; b]

. En particulier, si

f (a) f (b) < 0

f

s’annule sur

] a; b [

Exemple à traiter : Montre que l’équation

x^{5} + x - 1 = 0

admet au moins une solution dans

[0; 1]

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Erreurs fréquentes

⚠ Image et monotonie

f

n’est pas monotone, l’image de

[a; b]

n’est pas

[f (a); f (b)]

⚠ Continuité nécessaire

Sans continuité, la fonction peut « sauter » une valeur.

Exercice d’application

Montre que tout polynôme de degré 3 a au moins une racine réelle.
Soit $f$ continue sur $[0; 1]$ à valeurs dans $[0; 1]$ . Montre qu’il existe $c$ tel que $f (c) = c$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Continue sur

I

: image d’un intervalle = intervalle ; d’un segment = segment. TVI :

f (a) f (b) < 0

⇒

f

s’annule.