Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Fonctions numériques d’une variable réelle · Leçon 1

Limites des fonctions trigonométriques et des fonctions irrationnelles

Limites de référence et levée d’indéterminations.

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Cours de Mathématiques : « Limites des fonctions trigonométriques et des fonctions irrationnelles », proposé par ndolomathndolomath

Limites trigonométriques et irrationnelles

💡 Idée principale : Les limites de référence

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}

permettent de lever des indéterminations trigonométriques. Pour les fonctions irrationnelles, on utilise la quantité conjuguée ou la factorisation sous la racine. Les théorèmes de comparaison complètent ces outils.

Ce que tu vas apprendre

Connaître et utiliser les limites $\frac{\sin x}{x}$ , $\frac{1 - \cos x}{x^{2}}$ , $\frac{\tan x}{x}$ en 0.
Lever une indétermination avec la quantité conjuguée.
Utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes.

Pourquoi cette leçon ?

Pour de petits angles, les physiciens remplacent

\sin x

par

x

(oscillations d’un pendule). Cette approximation repose sur la limite de

\frac{\sin x}{x}

en 0.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\sin (0, 1)

\sin (0, 01)

à la calculatrice (en radians).

Multiplie

\sqrt{x + 1} - 1

par sa quantité conjuguée.

Rappelle

\sin^{2} x + \cos^{2} x

Situation problème : Le pendule de l’horloge

Pour étudier les petites oscillations du pendule d’une horloge, un physicien remplace $\sin θ$ par $θ$ lorsque $θ$ est petit (en radians).
Cette approximation est-elle justifiée ? Peut-on la quantifier ?

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Activité d’apprentissage

On compare $\sin θ$ et $θ$ au voisinage de 0.

Calcule $\frac{\sin θ}{θ}$ pour $θ = 0, 5$ ; $0, 1$ ; $0, 01$ .
Reconnais dans $\frac{\sin θ}{θ}$ un taux d’accroissement de la fonction sinus en 0.
Déduis-en $lim_{θ \to 0} \frac{\sin θ}{θ}$ .
Réponds à la situation problème.

Limites trigonométriques de référence

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

;

lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

;

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}

;

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to 0} \frac{\sin 3 x}{x}

lim_{x \to 0} \frac{\sin 5 x}{\sin 2 x}

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2 x}{x^{2}}

R2 · Fonctions irrationnelles

Pour une forme indéterminée avec des racines, on multiplie par la quantité conjuguée ou on factorise le terme dominant sous la racine :

\sqrt{x^{2} + a x} = | x | \sqrt{1 + \frac{a}{x}}

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x)

lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)

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Comparaison

g (x) \leq f (x) \leq h (x)

au voisinage de

a

et si

lim g = lim h = ℓ

, alors

lim f = ℓ

. Si

f (x) \geq g (x)

lim g = + \infty

, alors

lim f = + \infty

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{x + \sin x}{x}

lim_{x \to + \infty} (x + \cos x)

Erreurs fréquentes

⚠ Degrés et radians

Les limites de référence sont valables en radians.

⚠ Signe de x en −∞

\(\sqrt{x^2} =

Exercice d’application

Calcule $lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{π}{2}}$ .
Calcule $lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\frac{\sin x}{x} \to 1

\frac{1 - \cos x}{x^{2}} \to \frac{1}{2}

en 0. Racines : quantité conjuguée ou factorisation. Gendarmes et comparaison.