Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 3

Fonction x ↦ xᵃ

Puissances réelles et croissances comparées.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Fonction x ↦ xᵃ », proposé par ndolomathndolomath

Fonctions puissances

💡 Idée principale : Pour

α

réel, la fonction puissance

x \mapsto x^{α} = e^{α \ln x}

est définie sur

] 0; + \infty [

. Sa dérivée est

α x^{α - 1}

. Elle est croissante si

α > 0

, décroissante si

α < 0

. On compare les croissances de

\ln x

x^{α}

e^{x}

+ \infty

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition de $x^{α}$ et ses propriétés.
Étudier la fonction $x \mapsto x^{α}$ suivant les valeurs de $α$ .
Utiliser les croissances comparées $\frac{\ln x}{x^{α}} \to 0$ et $\frac{e^{x}}{x^{α}} \to + \infty$ ( $α > 0$ ).

Pourquoi cette leçon ?

En biologie, la masse du cœur ou le rythme cardiaque d’un animal varient comme une puissance non entière de sa masse (loi de Kleiber, exposant 0,75). Les fonctions puissances réelles modélisent ces lois d’échelle.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris

\sqrt{x}

\frac{1}{x^{2}}

comme des puissances de

x

Dérive

e^{2 \ln x}

Calcule

16^{0, 75}

Situation problème : La loi de Kleiber

Selon la loi de Kleiber, la dépense énergétique quotidienne d’un mammifère de masse $m$ (kg) est $E (m) = 70 m^{0, 75}$ kcal. Un éléphant pèse environ 5 000 kg et une souris 0,02 kg.
La dépense énergétique est-elle proportionnelle à la masse ? Comment varie la dépense par kilogramme ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Fonction x ↦ xᵃ », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On étudie $E$ et $\frac{E (m)}{m}$ .

Calcule $E (5 000)$ et $E (0, 02)$ .
Exprime $\frac{E (m)}{m}$ comme une puissance de $m$ .
Étudie les variations de $m \mapsto \frac{E (m)}{m}$ et sa limite en $+ \infty$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

Pour

x > 0

α \in R

x^{α} = e^{α \ln x}

. Règles :

x^{α} x^{β} = x^{α + β}

;

(x^{α})^{β} = x^{α β}

;

\ln (x^{α}) = α \ln x

Exemple à traiter : Simplifie

\frac{x^{\frac{3}{2}} \times x^{- \frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}}

pour

x > 0

R2 · Étude

(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}

. Si

α > 0

: croissante,

lim_{0^{+}} x^{α} = 0

lim_{+ \infty} x^{α} = + \infty

. Si

α < 0

: décroissante,

lim_{0^{+}} x^{α} = + \infty

lim_{+ \infty} x^{α} = 0

Exemple à traiter : Représente dans un même repère

x \mapsto x^{\frac{1}{2}}

x \mapsto x^{2}

x \mapsto x^{- 1}

sur

] 0; + \infty [

Croissances comparées

Pour

α > 0

lim_{+ \infty} \frac{\ln x}{x^{α}} = 0

;

lim_{+ \infty} \frac{e^{x}}{x^{α}} = + \infty

;

lim_{0^{+}} x^{α} \ln x = 0

. En

+ \infty

\ln x ≪ x^{α} ≪ e^{x}

Exemple à traiter : Calcule

lim_{+ \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}

lim_{+ \infty} x^{\frac{1}{3}} e^{- x}

lim_{0^{+}} \sqrt{x} \ln x

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Fonction x ↦ xᵃ », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Domaine

x^{α}

avec

α

réel n’est défini que pour

x > 0

⚠ Confusion

x^{α}

(puissance) et

a^{x}

(exponentielle) n’ont pas la même dérivée.

Exercice d’application

Étudie la fonction $f (x) = x^{x} = e^{x \ln x}$ sur $] 0; + \infty [$ .
Résous $x^{\sqrt{2}} = 3$ sur $] 0; + \infty [$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

x^{α} = e^{α \ln x}

(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}

. En

+ \infty

\ln x ≪ x^{α} ≪ e^{x}