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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 2

Fonction exponentielle x ↦ aˣ

Définition et étude de aˣ.

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Cours de Mathématiques : « Fonction exponentielle x ↦ aˣ », proposé par ndolomathndolomath

Exponentielle de base a

💡 Idée principale : Pour

a > 0

, on définit

a^{x} = e^{x \ln a}

pour tout réel

x

. Cette fonction prolonge les puissances entières et rationnelles, vérifie les mêmes règles de calcul, et est croissante si

a > 1

, décroissante si

0 < a < 1

. Sa réciproque est

\log_{a}

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition $a^{x} = e^{x \ln a}$ et les règles de calcul.
Étudier la fonction $x \mapsto a^{x}$ suivant les valeurs de $a$ .
Résoudre des équations et inéquations du type $a^{x} = b$ , $a^{x} \leq b$ .

Pourquoi cette leçon ?

Un capital placé à 4 % par an est multiplié par

1, 04^{t}

après

t

années, même si

t

n’est pas entier. Le calcul de

1, 04^{2, 5}

demande de définir

a^{x}

pour tout réel

x

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

2^{3}

2^{- 1}

4^{\frac{1}{2}}

Simplifie

\ln 8

en fonction de

\ln 2

Dérive

e^{3 x}

Situation problème : Le placement de Mme Ateba

Mme Ateba place 1 000 000 F à intérêts composés au taux annuel de 4 %. Le capital après $t$ années est $C (t) = 1 000 000 \times 1, 04^{t}$ .
Que vaut le capital après 2 ans et demi ? Quand aura-t-il dépassé 1 500 000 F ?

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Activité d’apprentissage

On utilise $1, 04^{t} = e^{t \ln 1, 04}$ .

Calcule $C (2, 5)$ à la calculatrice.
Écris l’inéquation $C (t) > 1 500 000$ et passe au logarithme.
Résous-la.
Réponds à la situation problème.

Définition et règles

Pour

a > 0

x

réel :

a^{x} = e^{x \ln a}

a^{x + y} = a^{x} a^{y}

;

a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}

;

(a^{x})^{y} = a^{x y}

;

(a b)^{x} = a^{x} b^{x}

;

\ln (a^{x}) = x \ln a

Exemple à traiter : Simplifie

\frac{2^{x + 1} \times 4^{x}}{8^{x - 1}}

R2 · Étude

(a^{x})^{'} = (\ln a) a^{x}

. Si

a > 1

x \mapsto a^{x}

est strictement croissante,

lim_{- \infty} a^{x} = 0

lim_{+ \infty} a^{x} = + \infty

. Si

0 < a < 1

, elle est strictement décroissante,

lim_{- \infty} a^{x} = + \infty

lim_{+ \infty} a^{x} = 0

Exemple à traiter : Étudie et représente

x \mapsto 2^{x}

x \mapsto {(\frac{1}{2})}^{x}

dans un même repère.

Équations et inéquations

a^{x} = b

(

b > 0

)

⟺ x = \frac{\ln b}{\ln a}

. Pour une inéquation, on passe au logarithme en tenant compte du signe de

\ln a

Exemple à traiter : Résous

3^{x} = 7

0, 8^{x} < 0, 1

4^{x} - 3 \times 2^{x} + 2 = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Signe de ln a

0 < a < 1

\ln a < 0

: le sens de l’inégalité change.

⚠ Dérivée

(a^{x})^{'} = (\ln a) a^{x}

, pas

x a^{x - 1}

Exercice d’application

Une population de bactéries triple toutes les 5 heures. Exprime la population en fonction du temps $t$ (en heures) sous la forme $N_{0} a^{t}$ et détermine $a$ .
Compare $2^{\sqrt{2}}$ et ${\sqrt{2}}^{2}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

a^{x} = e^{x \ln a}

(a^{x})^{'} = (\ln a) a^{x}

. Croissante si

a > 1

, décroissante si

0 < a < 1

a^{x} = b ⟺ x = \frac{\ln b}{\ln a}