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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Espaces vectoriels et applications linéaires · Leçon 2

Applications linéaires

Noyau, image, matrice, endomorphismes remarquables.

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Cours de Mathématiques : « Applications linéaires », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Une application linéaire conserve les combinaisons linéaires. Elle est déterminée par les images des vecteurs d’une base, ce qui donne sa matrice. Son noyau et son image sont des sous-espaces liés par le théorème du rang :

\dim \ker f + rg f = \dim E

. Projections et symétries sont des endomorphismes remarquables.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une application linéaire et écrire sa matrice dans une base.
Déterminer le noyau, l’image et le rang ; utiliser le théorème du rang.
Caractériser un isomorphisme ; calculer avec les matrices (produit, inverse, déterminant).
Reconnaître une projection ( $p \circ p = p$ ) et une symétrie ( $s \circ s = Id$ ).

Pourquoi cette leçon ?

Les transformations du plan utilisées en infographie (rotations, projections sur un écran, symétries) sont des applications linéaires ; les calculer avec des matrices permet à un ordinateur de les appliquer à des millions de points.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le produit

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

Résous le système

x + y = 0

2 x + 2 y = 0

Calcule

det (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix})

Situation problème : L’ombre sur le mur

Dans un jeu vidéo, l’ombre d’un objet sur le sol est obtenue en appliquant à chaque point $(x; y; z)$ la transformation $p (x; y; z) = (x - z; y; 0)$ .
Cette transformation est-elle linéaire ? Quels points ont une ombre à l’origine ? Que se passe-t-il si on projette une ombre une seconde fois ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $p$ dans $R^{3}$ .

Montre que $p$ est linéaire et écris sa matrice dans la base canonique.
Détermine le noyau de $p$ et son image ; vérifie le théorème du rang.
Calcule $p \circ p$ . Que remarques-tu ?
Réponds à la situation problème.

Matrice d’une application linéaire

La matrice de

f

dans les bases

B

B^{'}

a pour colonnes les coordonnées des images des vecteurs de

B

. Si

X

est la colonne des coordonnées de

\vec{u}

, celle de

f (\vec{u})

est

A X

. La matrice de

g \circ f

est le produit des matrices.

Exemple à traiter : Écris la matrice de

f (x; y) = (3 x - y; x + 2 y)

dans la base canonique, puis dans la base

((1; 1), (1; - 1))

R2 · Noyau, image, rang

\ker f

Im f

sont des sous-espaces ;

f

injective

⟺ \ker f = {\vec{0}}

. Théorème du rang :

\dim \ker f + \dim Im f = \dim E

. Un endomorphisme est bijectif si et seulement si le déterminant de sa matrice est non nul.

Exemple à traiter : Détermine le noyau, l’image et le rang de

f (x; y; z) = (x + y - z; 2 x - y + z; 3 x)

. Est-ce un automorphisme ?

Projections et symétries

E = F \oplus G

, la projection sur

F

parallèlement à

G

vérifie

p \circ p = p

; la symétrie par rapport à

F

parallèlement à

G

vérifie

s \circ s = Id

; on a

s = 2 p - Id

Exemple à traiter : Montre que

s (x; y) = (y; x)

est une symétrie ; détermine les sous-espaces

F = \ker (s - Id)

G = \ker (s + Id)

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Erreurs fréquentes

⚠ Ordre du produit

La matrice de

g \circ f

est

B A

(matrice de

g

fois matrice de

f

⚠ Colonnes

Les images des vecteurs de base se placent en colonnes, pas en lignes.

Exercice d’application

Soit $A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ . Calcule $A^{2}$ , $A^{4}$ et interprète géométriquement l’endomorphisme associé.
Détermine l’endomorphisme $f$ de $R^{2}$ tel que $f (1; 0) = (2; 1)$ et $f (1; 1) = (0; 3)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Matrice : images des vecteurs de base en colonnes.

\dim \ker f + rg f = \dim E

det \neq 0

⇔ bijectif. Projection

p^{2} = p

; symétrie

s^{2} = Id